Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項的平均數(shù)的倒數(shù)為

1

2n+1

，
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)cn=

an

2n+1

，試判斷并說明c_n+1-c_n（n∈N^*）的符號；
（3）設(shè)函數(shù)f(x)=-x2+4x-

an

2n+1

，是否存在最大的實(shí)數(shù)λ，當(dāng)x≤λ時，對于一切自然數(shù)n，都有f（x）≤0．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)數(shù)列{a_n}的前n項的平均數(shù)的倒數(shù)為

1

2n+1

，表示出數(shù)列的前n項和公式，問題就變化為由s_n求a_n的問題，這種問題要仿寫一個s_n-1，兩個式子相減，得到要求的通項．注意首相是否符合通項．
（2）根據(jù)所給的新數(shù)列寫出數(shù)列的表達(dá)式，即c_n的表達(dá)式，把式子進(jìn)行整理，分子常數(shù)化，仿寫c_n-1，寫出要判斷符號的式子，兩式相減得到分子相同的兩個分式的差的形式，容易判斷符號．
（3）本題是一個恒成立問題，根據(jù)上一問得到的關(guān)于c_n的單調(diào)性，對于一切自然數(shù)n，都有不等式成立，用c₁代入，解關(guān)于變量的一元二次不等式，得到結(jié)果．

解答：解：（1）∵數(shù)列{a_n}的前n項的平均數(shù)的倒數(shù)為

1

2n+1

，
∴a₁+a₂+…+a_n-1+a_n=n（2n+1），a₁+a₂+…+a_n-1=（n-1）（2n-1）
兩式相減得a_n=4n-1（n≥2），
∵a₁=3，
∴a_n=4n-1（n∈N）
（2）∵cn=

an

2n+1

=

4n-1

2n+1

=2-

3

2n+1

，cn+1=2-

3

2n+3

，
∴cn+1-cn=

3

2n+1

-

3

2n+3

＞0，即cn+1＞cn．
（3）由（2）知c₁=1是數(shù)列{c_n}中的最小項，
∵x≤λ時，對于一切自然數(shù)n，都有f(x)≤0，即-x2+4x≤

an

2n+1

=cn，
∴-x²+4x≤c₁=1，即x²-4x+1≥0，
∴x≥2+

3

或x≤2-

3

， ∴取λ=2-

3

．

點(diǎn)評：培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納、推理的能力，在領(lǐng)會函數(shù)與數(shù)列關(guān)系的前提下，把研究函數(shù)的方法遷移來研究數(shù)列，本題可以培養(yǎng)學(xué)生的知識、方法遷移能力，可以提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力．