Question

（I） 已知拋物線過焦點(diǎn)的動直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn), 求證: 為定值;
（Ⅱ）由 （Ⅰ） 可知: 過拋物線的焦點(diǎn)的動直線 l 交拋物線于兩點(diǎn), 存在定點(diǎn), 使得為定值. 請寫出關(guān)于橢圓的類似結(jié)論,并給出證明.

Answer 1

(I) 見解析；
(II) 過橢圓的一個焦點(diǎn)的動直線l交橢圓于、兩點(diǎn), 存在定點(diǎn), 使為定值.

本題主要考查拋物線的基本性質(zhì)以及直線與圓錐曲線的綜合問題．在解決直線與圓錐曲線綜合問題時，常把直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立．
（1）先討論出當(dāng)直線l垂直于x軸時，的值；再設(shè)出直線方程，把直線與拋物線方程聯(lián)立，得到A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)和斜率之間的關(guān)系，再代入 
計(jì)算即可得到結(jié)論
（2）先寫出類似結(jié)論，再根據(jù)第一問求 
的方法即可得到結(jié)論．（注意要分直線斜率存在和不存在兩種情況討論）．
解: (I) 若直線l垂直于x軸, 則, .
……………2分
若直線l不垂直于x軸, 設(shè)其方程為, .
由
……………4分


.
綜上, 為定值. ……………6分
(II) 關(guān)于橢圓有類似的結(jié)論: 過橢圓的一個焦點(diǎn)的動直線l交橢圓于、兩點(diǎn), 存在定點(diǎn), 使為定值. ……………7分
證明: 不妨設(shè)直線l過橢圓的右焦點(diǎn)其中
若直線l不垂直于x軸, 則設(shè)其方程為: , .
由得:
……………9分
由對稱性可知, 設(shè)點(diǎn)在x軸上, 其坐標(biāo)為
所以



要使為定值,
只要
即
此時……………12分
若直線l垂直于x軸, 則其方程為, , .
取點(diǎn),
有……………13分
綜上, 過焦點(diǎn)的任意直線l交橢圓于、兩點(diǎn), 存在定點(diǎn)

使為定值.                ……………14分