【題目】已知函數(shù)(,)的周期為,圖像的一個對稱中心為,將函數(shù)圖像上的所有點的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),在將所得圖像向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖像.
(1)求函數(shù)與的解析式;
(2)是否存在,使得,,按照某種順序成等差數(shù)列?若存在,請確定的個數(shù);若不存在,說明理由.
(3)求實數(shù)a與正整數(shù)n,使得在內(nèi)恰有2013個零點.
【答案】(1),;(2)存在唯一的(3),
【解析】
(1)根據(jù)已知的周期可以得到,再根據(jù)函數(shù)的對稱中心建立一個方程求得
(2)根據(jù)等差數(shù)列的條件,將問題轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的取值范圍問題,采用求導(dǎo)方法確定最值,從而判斷是否存在滿足條件的及存在的個數(shù).
(3)由于是關(guān)于,的函數(shù),所以它也是一個周期函數(shù),所以可以考慮在一個周期內(nèi)的取值情況,這個問題采用換元法簡化計算,令,從而將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次函數(shù),求解在一個范圍內(nèi)的的取值范圍,然后判斷存在的零點個數(shù),最后根據(jù)的周期性可得在整個區(qū)間范圍內(nèi)存在的總零點個數(shù).
(1)函數(shù)(,)的周期為,可得,
又由該圖像的一個對稱中心為,故,得,所以,
,將函數(shù)圖像上的所有點的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)后,得到的圖像,再將的圖像向右平移個單位長度后得到函數(shù),故函數(shù);
(2)當(dāng)時,,,所以,問題轉(zhuǎn)化為方程在內(nèi)是否有解,即在內(nèi)是否有解,記,,因為在上大于0,所以,在遞增,又因為,,且函數(shù)的圖像連續(xù)不斷,所以存在唯一的滿足題意;
(3)令,現(xiàn)討論函數(shù)在上零點的情況,設(shè),,則函數(shù)的圖像是開口向下的拋物線,又,,.
當(dāng)時,函數(shù)有一個零點(另一個零點,舍去),在上有兩個零點,,且;
當(dāng)時,函數(shù)有一個零點(另一個零點,舍去),在上有兩個零點,,且;
當(dāng)時,函數(shù)有一個零點,另一個零點,在和內(nèi)分別有兩個零點
由正弦函數(shù)的周期性可知,當(dāng)時,函數(shù)在內(nèi)的零點個數(shù)總為偶數(shù),從而不存在正整數(shù)滿足題意.
當(dāng)時,函數(shù)有一個零點,另一個零點;
當(dāng)時,函數(shù)有一個零點,另一個零點;
從而當(dāng)或時,函數(shù)在有三個零點,根據(jù)正弦函數(shù)的周期性,,所以,依題意得,
綜上,當(dāng)時,或時,時,函數(shù)在內(nèi)恰有2013個零點
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知
(1)若a=1,且f(x)≥m在(0,+∞)恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(2)當(dāng)時,若x=0不是f(x)的極值點,求實數(shù)a的取值.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.曲線的極坐標(biāo)方程為,曲線與曲線的交線為直線.
(1)求直線和曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)直線與軸交于點,與曲線相交于,兩點,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C:()的焦距為4,其短軸的兩個端點與長軸的一個端點構(gòu)成正三角形.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)F為橢圓C的左焦點,T為直線上任意一點,過F作TF的垂線交橢圓C于點P,Q.
(i)證明:OT平分線段PQ(其中O為坐標(biāo)原點);
(ii)當(dāng)最小時,求點T的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】劃船運動員8人,其中3人只會劃右舷,2人只會劃左舷,3人左右舷都會劃,現(xiàn)在要從這8人中選6個人,3個劃右舷,3個劃左舷,共有多少種選法?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,,為異面直線,且,,,是上兩點,,是上兩點,,,,分別交于點,,,.
(1)求證:四邊形為平行四邊形;
(2)若,,,與所成角為,求四邊形的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列滿足條件:,且是公比為的等比數(shù)列,設(shè).
(1)求出使不等式成立的的取值范圍;
(2)求和,其中;
(3)設(shè),求數(shù)列的最大項和最小項的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)圓C滿足:①截y軸所得弦長為2;②被x軸分成兩段圓弧,其弧長的比為3:1,在滿足條件①、②的所有圓中,求圓心到直線l:x-2y=0的距離最小的圓的方程.
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