Question

如圖：A，B是圓O上的兩點，點C是圓O與x軸正半軸的交點，已知A（-3，4），且點B在劣弧CA上，△AOB為正三角形．
（1）求cos∠COA；
（2）求|BC|的值．

Answer 1

分析：（1）求cos∠COA，由圖與題設知知終邊一點的坐標為（-3，4），故可求出該點到原點的距離，用定義cos∠COA=

x

r

求出余弦值．
（2）由題設知∠BOC=∠COA-

π

3

，由（1）中可以求出∠COA正弦與余弦，然后用兩角差的余弦公式求cos∠BOC=cos(∠COA-

π

3

)=cos∠COA•

1

2

+sin∠COA•

3

2

的值，再由余弦定理，|BC|²=|OB|²+|OC|²-2|OB|•|OC|cos∠BOC求出BC的長度．

解答：解：（1）由題意可知：x=-3，y=4，且圓半徑r=|OA|=5，
根據(jù)三角函數(shù)定義可得：cos∠COA=

x

r

=-

3

5

（2）在△OBC中，|BC|²=|OB|²+|OC|²-2|OB|•|OC|cos∠BOC=25+25-50•cos∠BOC
∵cos∠COA=

x

r

=-

3

5

，sin∠COA=

y

r

=

4

5

∴cos∠BOC=cos(∠COA-

π

3

)=cos∠COA•

1

2

+sin∠COA•

3

2

=

4 3 -3

10

∴|BC|2=50-5(4

3

-3)=65-20

3

∴|BC|=2

15

-

5

點評：本題考點是三角函數(shù)的定義，考查了用三角函數(shù)的定義---知終邊上一點的坐標求三角函數(shù)值，以及利用余弦定理求邊，用兩角和與差的三角函數(shù)公式求角的三角函數(shù)值．