【題目】已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為和,由4個(gè)點(diǎn)、、和組成了一個(gè)高為,面積為的等腰梯形.
(1)求橢圓的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)和橢圓交于兩點(diǎn)、,求面積的最大值.
【答案】(1)(2)3
【解析】
(1)由梯形的條件得,,求得,后得橢圓方程;
(2)直線(xiàn)的斜率不能為0,設(shè)直線(xiàn)方程為,直線(xiàn)與橢圓交于,.
直線(xiàn)方程代入橢圓方程化簡(jiǎn)后應(yīng)用韋達(dá)定理得,而的面積為,代入后,變形整理,令換元后由函數(shù)單調(diào)性可得面積的最大值.
解:(1)由條件,得,且,所以.
又,解得,,所以橢圓的方程.
(2)顯然,直線(xiàn)的斜率不能為0,設(shè)直線(xiàn)方程為,直線(xiàn)與橢圓交于,.
聯(lián)立方程,消去得,,
因?yàn)橹本(xiàn)過(guò)橢圓內(nèi)的點(diǎn),無(wú)論為何值,直線(xiàn)和橢圓總相交.
∴,
.
令,設(shè),易知時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減,函數(shù)單調(diào)遞增,所以當(dāng)即時(shí),,取最大值3.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】據(jù)《人民網(wǎng)》報(bào)道,美國(guó)國(guó)家航空航天局(NASA)發(fā)文稱(chēng),相比20年前世界變得更綠色了,衛(wèi)星資料顯示中國(guó)和印度的行動(dòng)主導(dǎo)了地球變綠.據(jù)統(tǒng)計(jì),中國(guó)新增綠化面積的來(lái)自于植樹(shù)造林,下表是中國(guó)十個(gè)地區(qū)在去年植樹(shù)造林的相關(guān)數(shù)據(jù).(造林總面積為人工造林、飛播造林、新封山育林、退化林修復(fù)、人工更新的面積之和)
單位:公頃
地區(qū) | 造林總面積 | 造林方式 | ||||
人工造林 | 飛播造林 | 新封山育林 | 退化林修復(fù) | 人工更新 | ||
內(nèi)蒙 | 618484 | 311052 | 74094 | 136006 | 90382 | 6950 |
河北 | 583361 | 345625 | 33333 | 13507 | 65653 | 3643 |
河南 | 149002 | 97647 | 13429 | 22417 | 15376 | 133 |
重慶 | 226333 | 100600 | 62400 | 63333 | ||
陜西 | 297642 | 184108 | 33602 | 63865 | 16067 | |
甘肅 | 325580 | 260144 | 57438 | 7998 | ||
新疆 | 263903 | 118105 | 6264 | 126647 | 10796 | 2091 |
青海 | 178414 | 16051 | 159734 | 2629 | ||
寧夏 | 91531 | 58960 | 22938 | 8298 | 1335 | |
北京 | 19064 | 10012 | 4000 | 3999 | 1053 |
(1)請(qǐng)根據(jù)上述數(shù)據(jù)分別寫(xiě)出在這十個(gè)地區(qū)中人工造林面積與造林總面積的比值最大和最小的地區(qū);
(2)在這十個(gè)地區(qū)中,任選一個(gè)地區(qū),求該地區(qū)新封山育林面積占造林總面積的比值超過(guò)的概率;
(3)在這十個(gè)地區(qū)中,從退化林修復(fù)面積超過(guò)一萬(wàn)公頃的地區(qū)中,任選兩個(gè)地區(qū),記X為這兩個(gè)地區(qū)中退化林修復(fù)面積超過(guò)六萬(wàn)公頃的地區(qū)的個(gè)數(shù),求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù);
(2)若(為給定的常數(shù),且),記在區(qū)間上的最小值為,求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓:的離心率為,右焦點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為.
(1)求橢圓的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)作與坐標(biāo)軸不垂直的直線(xiàn)與橢圓交于,兩點(diǎn),在軸上是否存在點(diǎn),使得為正三角形,若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位,然后縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍,得到的圖象,下面四個(gè)結(jié)論正確的是( )
A. 函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)
B. 將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后得到的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)
C. 點(diǎn)是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心
D. 函數(shù)在上的最大值為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(x>0).
(1)若a=1,f(x)在(0,+∞)上是單調(diào)增函數(shù),求b的取值范圍;
(2)若a≥2,b=1,求方程在(0,1]上解的個(gè)數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知梯形中,,,,四邊形為矩形,,平面平面.
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)求平面與平面所成銳二面角的余弦值;
(Ⅲ)在線(xiàn)段上是否存在點(diǎn),使得直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為,若存在,求出線(xiàn)段的長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某職稱(chēng)晉級(jí)評(píng)定機(jī)構(gòu)對(duì)參加某次專(zhuān)業(yè)技術(shù)考試的100人的成績(jī)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),繪制了頻率分布直方圖(如圖所示),規(guī)定80分及以上者晉級(jí)成功,否則晉級(jí)失。
晉級(jí)成功 | 晉級(jí)失敗 | 合計(jì) | |
男 | 16 | ||
女 | 50 | ||
合計(jì) |
(1)求圖中的值;
(2)根據(jù)已知條件完成下面列聯(lián)表,并判斷能否有的把握認(rèn)為“晉級(jí)成功”與性別有關(guān)?
(3)將頻率視為概率,從本次考試的所有人員中,隨機(jī)抽取4人進(jìn)行約談,記這4人中晉級(jí)失敗的人數(shù)為,求的分布列與數(shù)學(xué)期望.
(參考公式:,其中)
0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | |
0.780 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上的橢圓,下頂點(diǎn),且離心率.
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)經(jīng)過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線(xiàn)交橢圓于, 兩點(diǎn).在軸上是否存在定點(diǎn),使得恒成立?若存在,求出點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.
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