三棱柱ABC-A1B1C1在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中,已知AB=2,AC=4,AA1=3.D是BC的中點(diǎn).
(1)求直線A1D與B1C1所成角的余弦值;
(2)求直線DB1與平面A1C1D所成角的正弦值.

解:根據(jù)題意,得A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),D(1,2,0),
A1(0,0,3),B1(2,0,3),C1(0,4,3),
由此可得=(1,2,-3),=(0,4,0),
=(1,-2,0),=(-2,4,0),=(1,-2,3)
(1)∵cos<,>==
∴直線A1D與B1C1所成角的余弦值為;
(2)設(shè)平面A1C1D的一個(gè)法向量為=(x,y,z),
,取z=1得x=3,y=0,
=(3,0,1)是平面A1C1D的一個(gè)法向量
因此,設(shè)直線DB1與平面A1C1D所成角為θ,
可得sinθ=cos<,>==,
即直線DB1與平面A1C1D所成角的正弦值等于
分析:(1)根據(jù)題中所給的坐標(biāo)系,可得A、B、C、D、A1、B1、C1各點(diǎn)的坐標(biāo),由此得到向量、、、的坐標(biāo),利用空間向量的夾角公式算出cos<>的值,即可得到直線A1D與B1C1所成角的余弦值;
(2)設(shè)平面A1C1D的一個(gè)法向量為=(x,y,z),利用垂直向量數(shù)量積為零的方法建立方程組,解出=(3,0,1),從而得到直線DB1與平面A1C1D所成角θ滿足sinθ=cos<>=,即得直線DB1與平面A1C1D所成角的正弦值.
點(diǎn)評(píng):本題給出底面為直角三角形的直三棱柱,求異面直線所成角和直線與平面所成角的正弦值,著重考查了利用空間坐標(biāo)系求空間直線與平面所成角和異面直線所成角等知識(shí)點(diǎn),屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)在三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面AA1B1B是邊長(zhǎng)為2的正方形,點(diǎn)C在平面AA1B1B上的射影H恰好為A1B的中點(diǎn),且CH=
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,設(shè)D為CC1中點(diǎn),
(Ⅰ)求證:CC1⊥平面A1B1D;
(Ⅱ)求DH與平面AA1C1C所成角的正弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)
如圖(1)是一個(gè)水平放置的正三棱柱ABC-A1B1C1,D是棱BC的中點(diǎn).正三棱柱的主視圖如圖(2).
(Ⅰ) 圖(1)中垂直于平面BCC1B1的平面有哪幾個(gè)?(直接寫(xiě)出符合要求的平面即可,不必說(shuō)明或證明)
(Ⅱ)求正三棱柱ABC-A1B1C1的體積;
(Ⅲ)證明:A1B∥平面ADC1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1,AA1=
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,M是棱CC1的中點(diǎn),
(1)求證:A1B⊥AM;
(2)求直線AM與平面AA1B1B所成角的正弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖:在直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB=A1A,AC=BC,點(diǎn)D、E分別為C1C、AB的中點(diǎn),O為A1B與AB1的交點(diǎn).
(Ⅰ)求證:EC∥平面A1BD;
(Ⅱ)求證:AB1⊥平面A1BD.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:湖北省部分重點(diǎn)中學(xué)2010屆高三第一次聯(lián)考 題型:解答題

 

        如圖所示,在正三棱柱ABC—A11C1中,BB1=BC=2,且M是BC的中點(diǎn),點(diǎn)N在CC1上。

 
   (1)試確定點(diǎn)N的位置,使AB1⊥MN;

   (2)當(dāng)AB1⊥MN時(shí),求二面角M—AB1—N的大小。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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