Question

某幾何體的一條棱長(zhǎng)為

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，在該幾何體的正視圖中，這條棱的投影是長(zhǎng)為

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的線段，在該幾何體的側(cè)視圖與俯視圖中，這條棱的投影分別是長(zhǎng)為a和b的線段，求a+b的最大值．

Answer 1

分析：如圖，把已知幾何體長(zhǎng)為

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的棱看做某一個(gè)長(zhǎng)方體的對(duì)角線，設(shè)長(zhǎng)方體的對(duì)角線A₁C=

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，則它的正視圖的投影長(zhǎng)為D1C=

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，側(cè)視圖的投影長(zhǎng)為B₁C=a，俯視圖投影長(zhǎng)為A₁C=b，由長(zhǎng)方體的對(duì)角線與三條面對(duì)角線的關(guān)系，即可得到a、b滿(mǎn)足的關(guān)系式，進(jìn)而利用基本不等式的性質(zhì)即可求出答案．

解答：解：如圖，把已知幾何體長(zhǎng)為

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的棱看做某一個(gè)長(zhǎng)方體的對(duì)角線，設(shè)長(zhǎng)方體的對(duì)角線A₁C=

7

，則它的正視圖的投影長(zhǎng)為D1C=

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，側(cè)視圖的投影長(zhǎng)為B₁C=a，俯視圖投影長(zhǎng)為A₁C₁=b，
則a2+b2+(

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)2=2×(

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)2，即a²+b²=8．
∵a²+b²≥2ab，∴2（a²+b²）≥（a+b）²，∴

a+b

2

≤

a2+b2 2

=2，當(dāng)且僅當(dāng)“a=b=2”時(shí)取等號(hào)．
∴a+b≤4，即a+b的最大值為4．

點(diǎn)評(píng)：把已知長(zhǎng)為

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的棱看做某一長(zhǎng)方體的對(duì)角線是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．