【題目】設函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調性；

（2）若函數(shù)在時恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）若函數(shù)，求證：函數(shù)的極大值小于1.

【答案】（1）見解析；（2）（3）見證明

【解析】

（1）先對函數(shù)求導，分別討論和，即可得出結果；

（2）先將函數(shù)在時恒成立，轉化為在上恒成立，再設，，利用導數(shù)方法求出的最大值，即可得出結果；

（3）先由題意得到，對求導，利用導數(shù)的方法研究其單調性，即可求出其極大值，得出結論.

解：（1）由于，，

當時，，在上單調遞減；

當時，由得，由得；

所以在上單調遞減，上單調遞增.

（2）若在上恒成立，

只需，.

令，，則，

由得，所以

，隨的變化情況如下：

1

+

0

-

極大值

所以，所以.

（3）由題知，，

令，，

則函數(shù)在上單調遞減，，，

所以存在唯一的，

當時，；當時，.

所以函數(shù)的單調遞增區(qū)間是，單調遞減區(qū)間是，

其中，所以函數(shù)有極大值.

函數(shù)的極大值是，由，得，

所以，因為，所以，即，

所以的極大值小于1.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某校位同學的數(shù)學與英語成績如下表所示：

學號

數(shù)學成績

英語成績

學號

數(shù)學成績

英語成績

將這位同學的兩科成績繪制成散點圖如下：

（1）根據(jù)該校以往的經(jīng)驗，數(shù)學成績與英語成績線性相關.已知這名學生的數(shù)學平均成績?yōu)?/span>，英語平均成績?yōu)?/span>.考試結束后學校經(jīng)過調查發(fā)現(xiàn)學號為的同學與學號為的同學（分別對應散點圖中的、）在英語考試中作弊，故將兩位同學的兩科成績取消，取消兩位作弊同學的兩科成績后，求其余同學的數(shù)學成績與英語成績的平均數(shù)；

（2）取消兩位作弊同學的兩科成績后，求數(shù)學成績與英語成績的線性回歸方程，并據(jù)此估計本次英語考試學號為的同學如果沒有作弊的英語成績（結果保留整數(shù)）.

附：位同學的兩科成績的參考數(shù)據(jù)：，.

參考公式：，.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)的圖象中相鄰兩條對稱軸之間的距離為，且直線是其圖象的一條對稱軸．

（1）求，的值；

（2）在圖中畫出函數(shù)在區(qū)間上的圖象；

（3）將函數(shù)的圖象上各點的橫坐標縮短為原來的（縱坐標不變），再把得到的圖象向左平移個單位，得到的圖象，求單調減區(qū)間.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1） 試說明函數(shù)的圖象是由函數(shù)的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到的；

（2）若函數(shù)，試判斷函數(shù)的奇偶性，并用反證法證明函數(shù)的最小正周期是；

（3）求函數(shù)的單調區(qū)間和值域.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知復數(shù)z＝，（m∈R，i是虛數(shù)單位）．

（1）若z是純虛數(shù)，求m的值；

（2）設是z的共軛復數(shù)，復數(shù)＋2z在復平面上對應的點在第一象限，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，D是AC的中點，四邊形BDEF是菱形，平面平面ABC，，，．

若點M是線段BF的中點，證明：平面AMC；

求平面AEF與平面BCF所成的銳二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐S﹣ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，SA＝SB＝SC＝SD，點E，M，N分別是BC，CD，SC的中點，點P是MN上的一點．

（1）證明：EP∥平面SBD；

（2）求四棱錐S﹣ABCD的表面積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為、，離心率，點在橢圓上.

（1）求橢圓的方程；

（2）設過點且不與坐標軸垂直的直線交橢圓于、兩點，線段的垂直平分線與軸交于點，求點的橫坐標的取值范圍；

（3）在第（2）問的條件下，求面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】下面幾種推理是演繹推理的個數(shù)是（ ）

①兩條直線平行，同旁內角互補。如果∠A與∠B是兩條平行直線的同旁內角,那么∠A+∠B=180°；

②猜想數(shù)列1，3，5，7，9，11，…的通項公式為；

③由正三角形的性質得出正四面體的性質；

④半徑為的圓的面積，則單位圓的面積．

A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個

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