Question

已知a＞0，b＞0，且a+b=1.求證：(a+)(b+)≥.

Answer 1

本題可采用分析綜合、均值代換、三角代換等多種方法得證。
要證(a+)(b+)≥，即證ab≤或ab≥8.，再根據a＞0，b＞0，且a+b=1.分析即可得證。

【錯解分析】此題若直接應用重要不等式證明，顯然a+和 b+不能同時取得等號，如果忽略這一點就很容易出錯了。
【正解】證法一：(分析綜合法）欲證原式，即證4(ab)²+4(a²+b²)－25ab+4≥0，
即證4(ab)²－33(ab)+8≥0，
即證ab≤或ab≥8.
∵a＞0，b＞0，a+b=1，∴ab≥8不可能成立
∵1=a+b≥2，∴ab≤，從而得證.
證法二：(均值代換法)設a=+t₁，b=+t₂.∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴t₁+t₂=0，|t₁|＜，|t₂|＜

顯然當且僅當t=0，即a=b=時，等號成立.
證法三：(比較法）∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴a+b≥2，∴ab≤

證法四：(綜合法)∵a+b=1， a＞0，b＞0，∴a+b≥2，∴ab≤.


證法五：(三角代換法)∵ a＞0，b＞0，a+b=1，故令a=sin²α，b=cos²α，α∈(0，)

【點評】證明不等式時，要依據題設、題目的特點和內在聯系，選擇適當的證明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應的步驟、技巧和語言特點。不等式證明常用的方法有：
（1）比較法：比較法證不等式有作差(商)、變形、判斷三個步驟，變形的主要方向是因式分解、配方，判斷過程必須詳細敘述；如果作差以后的式子可以整理為關于某一個變量的二次式，則考慮用判別式法證.
（2）綜合法和分析法：綜合法是由因導果，而分析法是執(zhí)果索因，兩法相互轉換，互相滲透，互為前提，充分運用這一辯證關系，可以增加解題思路，開擴視野.
（3）不等式證明還有一些常用的方法：換元法、放縮法、反證法、函數單調性法、判別式法、數形結合法等.換元法主要有三角代換，均值代換兩種，在應用換元法時，要注意代換的等價性.放縮性是不等式證明中最重要的變形方法之一，放縮要有的放矢，目標可以從要證的結論中考查.有些不等式，從正面證如果不易說清楚，可以考慮反證法.凡是含有“至少”“惟一”或含有其他否定詞的命題，適宜用反證法.