Question

已知雙曲線C₁：(a>0)，拋物線C₂的頂點(diǎn)在原點(diǎn)O，C₂的焦點(diǎn)是C₁的左焦點(diǎn)F₁。
（1）求證：C₁，C₂總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；
（2）問(wèn)：是否存在過(guò)C₂的焦點(diǎn)F₁的弦AB，使ΔAOB的面積有最大值或最小值？若存在，求直線AB的方程與S_ΔAOB的最值，若不存在，說(shuō)明理由。

Answer 1

（1）（因?yàn)閤₁≠0），所以C₁，C₂總有兩個(gè)不同交點(diǎn)。
（2）存在過(guò)F的直線x=使ΔAOB面積有最小值6a²

（1）由雙曲線方程得，所以F₁(,0)，拋物線焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，拋物線：   ①
把①代入C₁方程得：        ②
Δ=64a²>0，所以方程②必有兩個(gè)不同實(shí)根，設(shè)為x₁,x₂,由韋達(dá)定理得x₁x₂=-a²<0，所以②必有一個(gè)負(fù)根設(shè)為x₁,把x₁代入①得y²=,所以（因?yàn)閤₁≠0），所以C₁，C₂總有兩個(gè)不同交點(diǎn)。
（2）設(shè)過(guò)F₁(,0)的直線AB為my=(x+a),由得y²+4may-12a²=0，因?yàn)棣?48m²a²+48a²>0，設(shè)y₁,y₂分別為A，B的縱坐標(biāo)，則y₁+y₂=,y₁y₂=-12a².所以(y₁-y₂)²=48a²(m²+1).所以S_ΔAOB=|y₁-y₂|•|OF₁|=a•a•，當(dāng)且僅當(dāng)m=0時(shí)，S_ΔAOB的面積取最小值；當(dāng)m→+∞時(shí)，S_ΔAOB→+∞，無(wú)最大值。所以存在過(guò)F的直線x=使ΔAOB面積有最小值6a²。