Question

將圓x²+y²=4壓扁得到橢圓C，方法是將該圓上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的

3

2

倍．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)橢圓C的左焦點(diǎn)為F₁，右焦點(diǎn)F₂，直線l過(guò)點(diǎn)F₁且垂直于橢圓的長(zhǎng)軸，點(diǎn)P為直線l上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P且垂直于l的動(dòng)直線l₁與線段PF₂垂直平分線交于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的軌跡C′的方程；
（3）是否存在過(guò)點(diǎn)（0，-2）的直線l₂與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，使以AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn)O（O是坐標(biāo)原點(diǎn)），若存在，求直線l₂的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）∵圓上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的

3

2

倍．
∴a=2，b=

3

，再判斷焦點(diǎn)位置，即可求出橢圓方程．
（2）利用直接法，設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)，再找到|MP|=|MF₂|，轉(zhuǎn)化為含M點(diǎn)坐標(biāo)的等式，化簡(jiǎn)即可．
（3）先假設(shè)存在過(guò)點(diǎn)（0，-2）的直線l₂與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，使以AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn)O（O是坐標(biāo)原點(diǎn)），
則OA⊥OB，再直線l₂方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系，以及OA⊥OB來(lái)解即可．

解答：解：（1）設(shè)所求橢圓上的任意點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），圓上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為（x′，y′），
依題意得

x=x/ y= 3 2 y/

∴

x/=x y/= 2 3 3 y

，x^/2+y^/2=4，
∴x2+

4y2

3

=4，∴

x2

4

+

y2

3

=1
（2）依題意|MP|=|MF₂|，F(xiàn)₂（1，0），l：x=-1，M(x，y)，

(x-1)2+y2

=|x+1|，
化簡(jiǎn)得點(diǎn)M的軌跡方程為y²=4x
（3）假設(shè)存在直線l₂滿(mǎn)足條件，顯然直線l₂的斜率存在，設(shè)其方程為y=kx-2，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
依題意得OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=0，∵y₁=kx₁-2，y₂=kx₂-2，（1+k²）x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4=0
由方程組得 

y=kx-2 x2 4 + y2 3 =1

得（3+4k²）x²-16kx+4=0，則x1+x2=

16k

3+4k2

，x1x2=

4

3+4k2

∴

4(1+k2)

3+4k2

-2k×

16k

3+4k2

+4=0，整理得k2=

4

3

，k=±

2 3

3

，
又△＞0，∴k2＞

1

4

，∴k=±

2 3

3

符合題意．
所以存在直線l₂方程為y=±

2 3

3

x-2

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，以及直接法求軌跡方程，屬常規(guī)題，應(yīng)該掌握．