Question

設(shè){a_n}是正數(shù)組成的數(shù)列，前n項(xiàng)和為S_n且an=2

2Sn

-2；
（Ⅰ）寫出數(shù)列{a_n}的前三項(xiàng)；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，并寫出推證過程；
（Ⅲ）令bn=

4

an•an+1

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（I）把n=1，2，3分別代入遞推公式中可求
（II）由已知可得8S_n=a_n²+4a_n+4，8S_n+1=a_n+1²+4a_n+1+4，兩式相減結(jié)合a_n+1+a_n＞0可得a_n+1-a_n=4，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求
（ III）由（II）可得bn=

4

an•an+1

=

4

(4n-2)(4n+2)

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，利用裂項(xiàng)求和

解答：解：（Ⅰ）∵an=2

2Sn

-2
n=1時可得，a1=2

2s1

-2∴a₁=2
把n=2代入可得a₂=6，n=3代入可得a₃=10；
（Ⅱ）8S_n=a_n²+4a_n+4…（1）
8S_n+1=a_n+1²+4a_n+1+4…（2）
（2）-（1）得8a_n+1=a_n+1²-a_n²+4a_n+1-4a_n
（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-4）=0
∵a_n+1+a_n＞0
∴a_n+1-a_n-4=0
a_n+1-a_n=4
∴{a_n}是以2為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列．a(chǎn)_n=a₁+（n-1）d=4n-2
（ III）bn=

4

an•an+1

=

4

(4n-2)(4n+2)

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n
=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

．

點(diǎn)評：本題主要考查了利用遞推公式求解數(shù)列中的項(xiàng)及構(gòu)造求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，要注意裂項(xiàng)求和在解決本題中的應(yīng)用時，裂項(xiàng)時容易漏

1

2

．