Question

【題目】如圖，在四棱錐中，四邊形ABCD是平行四邊形，，，.

（1）求PC的長；

（2）求AP與平面PBC所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）取AD的中點(diǎn)E,連接PE,BE,由等邊三角形的性質(zhì)可得,由勾股定理可得,則平面PBE,即,由平行四邊形可得,進(jìn)而求解；

（2）過點(diǎn)A作平面PBC的垂線,垂足為H,連接PH,則即AP與平面PBC所成的角,由（1）可得平面PBE,則平面PBE,即可證得平面PBC,由平面PBC可得,進(jìn)而利用勾股定理求得,即可求解.

解：（1）如圖,取AD的中點(diǎn)E,連接PE,BE,因?yàn)?/span>,所以,

因?yàn)?/span>,,,所以,即,所以,所以,

又,,平面PBE,所以平面PBE,

又平面PBE,所以,

又,所以,

因?yàn)?/span>,所以.

（2）過點(diǎn)A作平面PBC的垂線,垂足為H,連接PH,則即AP與平面PBC所成的角,

過E作PB的垂線交PB于點(diǎn)F,因?yàn)?/span>,平面PBE,

所以平面PBE,所以,

又,,PB,平面PBC,

所以平面PBC,

因?yàn)?/span>,所以平面PBC,所以,

在中,,,,所以,所以,

因此,

所以.