Question

正三棱錐S-ABC的四個頂點都在半徑為1的球面上，其中底面的三個頂點在該球的一個大圓上，球心為O，M是線段SO的中點，過M與SO垂直的平面分別截三棱錐S-ABC和球所得平面圖形的面積比為

3

4π

．

Answer 1

分析：根據(jù)組合體的結構特征，得出截面三角形的面積S₁=

1

4

S_△ABC=

3 3

16

，再求出平面截球所得截面圓半徑為

12-( 1 2 )2

=

3

2

得出截面圓面積，再求比值即可．

解答：解：由已知，△ABC是求大圓的內接正三角形，由于半徑為1，所以邊長AB=

3

，S_△ABC=

3

4

×(

3

)2=

3 3

4

．
因為M是線段SO的中點，且SO=1，所以平面截三棱錐S-ABC所得截面三角形的面積S₁=

1

4

S_△ABC=

3 3

16

平面截球所得截面圓半徑為

12-( 1 2 )2

=

3

2

．截面圓面積S₂=π×

3

4

=

3π

4

，面積之比為

3

4π

故答案為：

3

4π

．

點評：本題考查球的內接幾何體問題，考查分析、空間想象能力，轉化計算能力．