【題目】如圖,曲線C由上半橢圓C1: =1(a>b>0,y≥0)和部分拋物線C2:y=﹣x2+1(y≤0)連接而成,C1與C2的公共點(diǎn)為A,B,其中C1的離心率為 .
(1)求a,b的值;
(2)過(guò)點(diǎn)B的直線l與C1 , C2分別交于點(diǎn)P,Q(均異于點(diǎn)A,B),若AP⊥AQ,求直線l的方程.
【答案】
(1)解:在C1、C2的方程中,令y=0,可得b=1,且A(﹣1,0),B(1,0)是上半橢圓C1的左右頂點(diǎn).
設(shè)C1:的半焦距為c,由 = 及a2﹣c2=b2=1得a=2.
∴a=2,b=1.
(2)解:由(1)知上半橢圓C1的方程為 +x2=1(y≥0).
易知,直線l與x軸不重合也不垂直,設(shè)其方程為y=k(x﹣1)(k≠0),
代入C1的方程,整理得
(k2+4)x2﹣2k2x+k2﹣4=0.(*)
設(shè)點(diǎn)P(xp,yp),
∵直線l過(guò)點(diǎn)B,
∴x=1是方程(*)的一個(gè)根,
由求根公式,得xp= ,從而yp= ,
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為( , ).
同理,由 得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(﹣k﹣1,﹣k2﹣2k),
∴ = (k,﹣4), =﹣k(1,k+2),
∵AP⊥AQ,∴ =0,即 [k﹣4(k+2)]=0,
∵k≠0,∴k﹣4(k+2)=0,解得k=﹣ .
經(jīng)檢驗(yàn),k=﹣ 符合題意,
故直線l的方程為y=﹣ (x﹣1),即8x+3y﹣8=0.
【解析】(1)在C1、C2的方程中,令y=0,即得b=1,設(shè)C1:的半焦距為c,由 = 及a2﹣c2=b2=1得a=2;(2)由(1)知上半橢圓C1的方程為 +x2=1(y≥0),設(shè)其方程為y=k(x﹣1)(k≠0),代入C1的方程,整理得(k2+4)x2﹣2k2x+k2﹣4=0.(*)設(shè)點(diǎn)P(xp , yp),依題意,可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)為( , );同理可得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(﹣k﹣1,﹣k2﹣2k),利用 =0,可求得k的值,從而可得答案.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】定義在區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)y=f(x),如果,使得,則稱為區(qū)間[a,b]上的“中值點(diǎn)”,下列函數(shù):
①; ②; ③; ④中,在區(qū)間[O,1]上“中值點(diǎn)”多于一個(gè)的函數(shù)序號(hào)為( )
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某學(xué)校為調(diào)查高三年學(xué)生的身高情況,按隨機(jī)抽樣的方法抽取80名學(xué)生,得到男生身高情況的頻率分布直方圖(圖(1))和女生身高情況的頻率分布直方圖(圖(2)).已知圖(1)中身高在170~175cm的男生人數(shù)有16人.
(Ⅰ)試問(wèn)在抽取的學(xué)生中,男、女生各有多少人?
(Ⅱ)根據(jù)頻率分布直方圖,完成下列的2×2列聯(lián)表,并判斷能有多大(百分幾)的把握認(rèn)為“身高與性別有關(guān)”?
≥170cm | <170cm | 總計(jì) | |
男生身高 | |||
女生身高 | |||
總計(jì) |
(Ⅲ)在上述80名學(xué)生中,從身高在170~175cm之間的學(xué)生中按男、女性別分層抽樣的方法,抽出5人,從這5人中選派3人當(dāng)旗手,求3人中恰好有一名女生的概率.
參考公式:K2=
參考數(shù)據(jù):
P(K2≥k0) | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).在以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求直線的極坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)若直線與曲線交于兩點(diǎn),求.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi),需了解年宣傳費(fèi)(單位:萬(wàn)元)對(duì)年銷售量(單位:噸)和年利潤(rùn)(單位:萬(wàn)元)的影響.對(duì)近六年的年宣傳費(fèi)和年銷售量的數(shù)據(jù)作了初步統(tǒng)計(jì),得到如下數(shù)據(jù):
年份 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 |
年宣傳費(fèi)(萬(wàn)元) | 38 | 48 | 58 | 68 | 78 | 88 |
年銷售量(噸) | 16.8 | 18.8 | 20.7 | 22.4 | 24.0 | 25.5 |
經(jīng)電腦模擬,發(fā)現(xiàn)年宣傳費(fèi)(萬(wàn)元)與年銷售量(噸)之間近似滿足關(guān)系式,即.對(duì)上述數(shù)據(jù)作了初步處理,得到相關(guān)的值如下表:
75.3 | 24.6 | 18.3 | 101.4 |
(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù),求關(guān)于的回歸方程;
(2)規(guī)定當(dāng)產(chǎn)品的年銷售量(噸)與年宣傳費(fèi)(萬(wàn)元)的比值在區(qū)間內(nèi)時(shí)認(rèn)為該年效益良好.該公司某年投入的宣傳費(fèi)用(單位:萬(wàn)元)分別為:、、、、、,試根據(jù)回歸方程估計(jì)年銷售量,從這年中任選年,記其中選到效益良好年的數(shù)量為,試求隨機(jī)變量的分布列和期望.(其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),)
附:對(duì)于一組數(shù)據(jù),,…,,其回歸直線中的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】自點(diǎn)A(-3,3)發(fā)出的光線L射到x軸上,被x軸反射,其反射光線所在直線與圓x2+y2-4x-4y+7=0相切,求光線L所在直線的方程。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD是等腰梯形,∠DAB=60°,AB=2CD=2,M是線段AB的中點(diǎn).
(1)求證:C1M∥平面A1ADD1;
(2)若CD1垂直于平面ABCD且CD1= ,求平面C1D1M和平面ABCD所成的角(銳角)的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】將一個(gè)骰子連續(xù)拋擲三次,它落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)能組成成等差數(shù)列的概率為( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某濕地公園內(nèi)有一條河,現(xiàn)打算建一座橋?qū)⒑觾砂兜穆愤B接起來(lái),剖面設(shè)計(jì)圖紙如下:
其中,點(diǎn)為軸上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn),曲線段是橋的主體,為橋頂,且曲線段在圖紙上的圖形對(duì)應(yīng)函數(shù)的解析式為,曲線段均為開口向上的拋物線段,且分別為兩拋物線的頂點(diǎn),設(shè)計(jì)時(shí)要求:保持兩曲線在各銜接處()的切線的斜率相等.
(1)求曲線段在圖紙上對(duì)應(yīng)函數(shù)的解析式,并寫出定義域;
(2)車輛從經(jīng)倒爬坡,定義車輛上橋過(guò)程中某點(diǎn)所需要的爬坡能力為:(該點(diǎn)與橋頂間的水平距離)(設(shè)計(jì)圖紙上該點(diǎn)處的切線的斜率),其中的單位:米.若該景區(qū)可提供三種類型的觀光車:①游客踏乘;②蓄電池動(dòng)力;③內(nèi)燃機(jī)動(dòng)力.它們的爬坡能力分別為米,米,米,又已知圖紙上一個(gè)單位長(zhǎng)度表示實(shí)際長(zhǎng)度米,試問(wèn)三種類型的觀光車是否都可以順利過(guò)橋?
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