Question

給定兩個長度為1的平面向量

OA

和

OB

，它們的夾角為120°．
（1）求|

OA

+

OB

|；
（2）如圖所示，點C在以O(shè)為圓心的圓弧

AB

上變動．若

OC

=x

OA

+y

OB

，其中x，y∈R，求x+y的最大值？

Answer 1

分析：（1）由已知中兩個長度為1的平面向量

OA

和

OB

，它們的夾角為120°．我們可得

OA

²=

OB

²=1，

OA

•

OB

=-

1

2

，進(jìn)而將|

OA

+

OB

|化為

OA 2+ OB 2+2 OA • OB

的形式，代入即可得到答案．
（2）由已知中C在以O(shè)為圓心的圓弧

AB

上變動．我們可設(shè)C（cosθ，sinθ），結(jié)合

OC

=x

OA

+y

OB

，我們易求出x，y（均含參數(shù)θ），進(jìn)而得到x+y的表達(dá)式，根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)，易求出x+y的最大值．

解答：解：（1）∵平面向量

OA

和

OB

的兩個長度為1，它們的夾角為120°．
∴

OA

²=

OB

²=1，

OA

•

OB

=-

1

2

|

OA

+

OB

|=

( OA + OB )2

=

OA 2+ OB 2+2 OA • OB

=1（4分）
（2）如圖所示，建立直角坐標(biāo)系，則A（1，0），B（-

1

2

，

3

2

），C（cosθ，sinθ）．
由

OC

=x

OA

+y

OB

，得cosθ=x-

y

2

，sinθ=

3

2

y．
即x=cosθ+

3

3

sinθ，y=

2 3

3

sinθ．
則x+y=

3

sinθ+cosθ=2sin（θ+

π

6

）
又θ∈[0，

2π

3

]，則θ+

π

6

∈[

π

6

，

5π

6

]，
故當(dāng)θ=

π

3

時，x+y的最大值是2．…（14分）

點評：本題考查的知識點是向量的數(shù)量積，向量的模，三角函數(shù)的最值，是平面向量與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，其中（1）的關(guān)鍵是將|

OA

+

OB

|化為

OA 2+ OB 2+2 OA • OB

的形式，（2）的關(guān)鍵是求出x+y=2sin（θ+

π

6

），將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題．