Question

已知橢圓

x2

16

+

y2

4

=1，求過Q（8，2）的直線被橢圓截得的弦中點的軌跡方程，并求方程中x的取值范圍．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)出直線與橢圓的兩個交點A，B的坐標(biāo)及AB的中點的坐標(biāo)，利用點差法結(jié)合直線斜率得到AB中點所滿足的函數(shù)關(guān)系式．

解答： 解：設(shè)直線l交橢圓與A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，AB的中點為（x₀，y₀），
則

x 2 1

16

+

y 2 1

4

=1，

x 2 2

16

+

y 2 2

4

=1
作差得：

(x1-x2)(x1+x2)

16

+

(y1-y2)(y1+y2)

4

=0，
∴

y1-y2

x1-x2

=-

x0

4y0

，
即

y0-2

x0-8

=-

x0

4y0

，整理得：

(x0-4)2

20

+

(y0-1)2

5

=1，
∴弦的中點的軌跡方程為

(x-4)2

20

+

(y-1)2

5

=1．
∵

(x-4)2≤20 x2≤16

∴方程中x的取值范圍4-2

5

≤x≤4．

點評：本題考查了軌跡方程的求法，訓(xùn)練了點差法，是中檔題．