Question

（本小題滿分13分）設(shè)是定義在上的函數(shù)，對任意實(shí)數(shù)、，都有，且當(dāng)＜0時(shí)，＞1．
（1）證明：①；
②當(dāng)＞0時(shí)，0＜＜1；
③是上的減函數(shù)；
（2）設(shè)，試解關(guān)于的不等式；

Answer 1

（1）略
（2）當(dāng)2＜，即＞時(shí)，不等式的解集為≤≤；
當(dāng)2=，即=時(shí)，≤0，不等式的解集為；
當(dāng)2＞，即＜時(shí)，不等式的解集為≤≤2.

解：（I）證明：（1）在中，令
得即∴或，
若，則當(dāng)＜0時(shí)，有，與題設(shè)矛盾，
∴
（2）當(dāng)＞0時(shí)，＜0，由已知得＞1，
又，，
∴  0＜=＜1， 即＞0時(shí)，0＜＜1.
（3）任取＜，則，
∵＜0，∴＞1，又由(1)(2)及已知條件知＞0，
∴＞，∴在定義域上為減函數(shù).
（II）=

又，在上單調(diào)遞減.
∴原不等式等價(jià)于≤0
不等式可化為≤0
當(dāng)2＜，即＞時(shí)，不等式的解集為≤≤；
當(dāng)2=，即=時(shí)，≤0，不等式的解集為；
當(dāng)2＞，即＜時(shí)，不等式的解集為≤≤2.