對于函數(shù)y=f(x),如果存在一個正的常數(shù)a,使得定義域D內(nèi)的任意兩個不等的值x1、x2都有|f(x1)-f(x2)|≤a|x1-x2|成立,則稱函數(shù)y=f(x)為D上的利普希茨I類函數(shù).已知函數(shù)f(x)=x2-1(x≥1)的圖象是C1,函數(shù)y=g(x)的圖象C2與C1關(guān)于直線y=x對稱.

(1)求函數(shù)y=g(x)的解析式及定義域M;

(2)證明:函數(shù)y=g(x)為M上的利普希茨I類函數(shù);

(3)若A、B為C2上兩點,求證:直線AB與直線y=x相交.

答案:(1)解:∵函數(shù)y=g(x)的圖象C2與C1關(guān)于直線y=x對稱,∴y=f(x)與y=g(x)互為反函數(shù).∴y=g(x)的解析式為g(x)=,定義域M為[0,+∞).                       

(2)證明:對任意的x1,x2∈M,且x1≠x2,x1≥0,x2≥0,

則|g(x1)-g(x2)|=|x1-x2|,

所以函數(shù)y=g(x)為M上的利普希茨I類函數(shù).

(3)證明:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)是曲線C2上不同兩點,x1,x2∈M,且x1≠x2,由(2)知,

|kAB|=||=||<<1,所以直線AB的斜率kAB≠1,而直線y=x的斜率為1,∴它們相交.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

對于函數(shù)y=f(x),如果存在一個正的常數(shù)a,使得定義域D內(nèi)的任意兩個不等的值x1、x2都有|f(x1)-f(x2)|≤a|x1-x2|成立,則稱函數(shù)y=f(x)為D上的利普希茨I類函數(shù).已知函數(shù)f(x)=x2-1(x≥1)的圖象是C1,函數(shù)y=g(x)的圖象C2與C1關(guān)于直線y=x對稱.

(1)求函數(shù)y=g(x)的解析式及定義域M;

(2)證明:函數(shù)y=g(x)為M上的利普希茨I類函數(shù);

(3)若A、B為C2上兩點,求證:直線AB與直線y=x相交.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

對于函數(shù)y=f(x),若x1+x2=1, 則f(x1)+f(x2)=1,記數(shù)列f(),f(),

……,f()……,(n≥2,n∈)的前n項的和為Sn ;

   (1)求Sn;

   (2)若a=,a (n≥2,n∈),

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

對于函數(shù)y=f(x),若x1+x2=1, 則f(x1)+f(x2)=1,記數(shù)列f(),f(),

……,f()……,(n≥2,n∈)的前n項的和為Sn ;

   (1)求Sn;

   (2)若a=,a (n≥2,n∈),

 數(shù)列{an}的前n項和為Tn,  Tnλ(Sn+1+1)對一切n∈都成立,試求λ的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

對于函數(shù)y=f(x),若x1+x2=1, 則f(x1)+f(x2)=1,記數(shù)列f(),f(),

……,f()……,(n≥2,n∈)的前n項的和為Sn ;

   (1)求Sn;

  

    (2)若a=,a (n≥2,n∈),

數(shù)列{an}的前n項和為Tn,  Tnλ(Sn+1+1)對一切n∈都成立,試求λ的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年江蘇省高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué) 題型:解答題

(本題滿分16分)設(shè)函數(shù)y=f(x)對任意實數(shù)x,都有f(x)=2f(x+1),當(dāng)x∈[0,1]時,f(x)=x2(1-x).

(Ⅰ)已知n∈N+,當(dāng)x∈[n,n+1]時,求y=f(x)的解析式;

(Ⅱ)求證:對于任意的n∈N+,當(dāng)x∈[n,n+1]時,都有|f(x)|≤

(Ⅲ)對于函數(shù)y=f(x)(x∈[0,+∞,若在它的圖象上存在點P,使經(jīng)過點P的切線與直線x+y=1平行,那么這樣點有多少個?并說明理由

 

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