【題目】本題共3個(gè)小題,第1小題滿分3分,第2小題滿分6分,第3小題滿分9分.
已知數(shù)列滿足.
(1)若,求的取值范圍;
(2)若是公比為等比數(shù)列,,求的取值范圍;
(3)若成等差數(shù)列,且,求正整數(shù)的最大值,以及取最大值時(shí)相應(yīng)數(shù)列的公差.
【答案】(1);(2);(3)的最大值為1999,此時(shí)公差為.
【解析】
(1)依題意:,又將已知代入求出x的范圍;
(2)先求出通項(xiàng):,由求出,對q分類討論求出Sn分別代入不等式Sn≤Sn+1≤3Sn,得到關(guān)于q的不等式組,解不等式組求出q的范圍.
(3)依題意得到關(guān)于k的不等式,得出k的最大值,并得出k取最大值時(shí)a1,a2,…ak的公差.
(1)依題意:,
∴;又
∴3≤x≤27,
綜上可得:3≤x≤6
(2)由已知得,,,
∴,
當(dāng)q=1時(shí),Sn=n,Sn≤Sn+1≤3Sn,即,成立.
當(dāng)1<q≤3時(shí),,Sn≤Sn+1≤3Sn,即,
∴
不等式
∵q>1,故3qn+1﹣qn﹣2=qn(3q﹣1)﹣2>2qn﹣2>0恒成立,
而對于不等式qn+1﹣3qn+2≤0,令n=1,
得q2﹣3q+2≤0,
解得1≤q≤2,又當(dāng)1≤q≤2,q﹣3<0,
∴qn+1﹣3qn+2=qn(q﹣3)+2≤q(q﹣3)+2=(q﹣1)(q﹣2)≤0成立,
∴1<q≤2,
當(dāng)時(shí),
,Sn≤Sn+1≤3Sn,即,
∴此不等式即,
3q﹣1>0,q﹣3<0,
3qn+1﹣qn﹣2=qn(3q﹣1)﹣2<2qn﹣2<0,
qn+1﹣3qn+2=qn(q﹣3)+2≥q(q﹣3)+2=(q﹣1)(q﹣2)>0
∴時(shí),不等式恒成立,
∴q的取值范圍為:.
(3)設(shè)a1,a2,…ak的公差為d.由,且a1=1,
得
即
當(dāng)n=1時(shí),d≤2;
當(dāng)n=2,3,…,k﹣1時(shí),由,得d,
所以d,
所以1000=k,即k2﹣2000k+1000≤0,
得k≤1999
所以k的最大值為1999,k=1999時(shí),a1,a2,…ak的公差為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知二次函數(shù)的圖像與軸相交于點(diǎn)、(點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)),與軸相交于點(diǎn),連接、.
(1)求線段的長;
(2)若平分,求的值;
(3)該函數(shù)圖象的對稱軸上是否存在點(diǎn),使得為等邊三角形?若存在,求出的值;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將正方形沿對角線折成直二面角,有如下四個(gè)結(jié)論:
①;
②是等邊三角形;
③與平面所成的角為;
④與所成的角為.
其中錯(cuò)誤的結(jié)論是____________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的圖象過點(diǎn)P(1,2),且在處取得極值
(1)求的值;
(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(3)求函數(shù)在上的最值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) ,且滿足.
(1)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性,并用定義證明;
(2)設(shè)函數(shù),求在區(qū)間上的最大值;
(3)若存在實(shí)數(shù)m,使得關(guān)于x的方程恰有4個(gè)不同的正根,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓()的離心率為,且a2=2b.
(1)求橢圓的方程;
(2)直線l:x﹣y+m=0與橢圓交于A,B兩點(diǎn),是否存在實(shí)數(shù)m,使線段AB的中點(diǎn)在圓x2+y2=5上,若存在,求出m的值;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,定義域?yàn)?/span>上的函數(shù)是由一條射線及拋物線的一部分組成.利用該圖提供的信息解決下面幾個(gè)問題.
(1)求的解析式;
(2)若關(guān)于的方程有三個(gè)不同解,求的取值范圍;
(3)若,求的取值集合.
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