如圖，已知橢圓的中心在原點，其上、下頂點分別為，點在直線上，點到橢圓的左焦點的距離為.

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）設是橢圓上異于的任意一點，點在軸上的射影為，為的中點，直線交直線于點，為的中點，試探究：在橢圓上運動時，直線與圓:的位置關系，并證明你的結論.

 

【答案】

（Ⅰ）（Ⅱ）直線與圓相切

【解析】

試題分析：解（1）依題意有：， 

所以橢圓方程為                  

（2）圓:

在橢圓上運動時，直線與圓相切          

證明：設,，則

點在圓上.         

直線方程為                  

令，得，             

直線與圓相切。                   

考點：橢圓的標準方程；直線與橢圓的位置關系

點評：關于曲線的大題，第一個問題一般是讓我們求出曲線的方程，這個相對較容易，而第二個問題，常與直線結合在一起，當曲線與直線相交時，在聯(lián)立方程組求交點過程中，常用到根與系數(shù)的關系式：，（）

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網如圖，已知橢圓的中心在坐標原點，焦點F1，F(xiàn)2在x軸上，長軸A1A2的長為4，左準線l與x軸的交點為M，|MA1|：|A1F1|=2：1．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若直線l1：x=m（|m|＞1），P為l1上的動點，使∠F1PF2最大的點P記為Q，求點Q的坐標（用m表示）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網如圖，已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，長軸長是短軸長的2倍且經過點M（2，1），平行于OM的直線l在y軸上的截距為m（m≠0），l交橢圓于A、B兩個不同點．
（1）求橢圓的方程；
（2）求m的取值范圍；
（3）求證直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為
3
2
，且經過點M（4，1）．直線l：y=x+m交橢圓于A，B兩不同的點．
（1）求橢圓的方程；
（2）當|AB|=
12
5
2
時，求m的值；
（3）若直線l不過點M，求證：直線MA，MB與x軸圍成一個等腰三角形．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在x軸上，它的一個頂點為A（0，
2
），且離心率為
3
2
．
（ I）求橢圓的標準方程；
（ II）過點M（0，2）的直線l與橢圓相交于不同兩點P、Q，點N在線段PQ上．設
|
MP
|
|
PN
|
=
|
MQ
|
|
NQ
|
=λ，試求實數(shù)λ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•馬鞍山二模）如圖，已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，長軸長是短軸長的2倍且經過點M（2，1），平行于OM的直線l在y軸上的截距為m（m≠0），直線l交橢圓于A、B兩個不同點（A、B與M不重合）．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）當MA⊥MB時，求m的值．

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