如圖所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，
M，N分別是AB，PC的中點(diǎn).
（1）求證：MN⊥CD；
（2）若∠PDA=45°.求證：MN⊥平面PCD.
證明略
 （1）連接AC，AN，BN，
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，
在Rt△PAC中，N為PC中點(diǎn)，
∴AN=PC.
∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB=A，
∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，
從而在Rt△PBC中，BN為斜邊PC上的中線，
∴BN=PC.
∴AN=BN，
∴△ABN為等腰三角形，
又M為底邊的中點(diǎn)，∴MN⊥AB，
又∵AB∥CD，∴MN⊥CD.
（2）連接PM、CM,∵∠PDA=45°，PA⊥AD，∴AP=AD.
∵四邊形ABCD為矩形.
∴AD=BC，∴PA=BC.
又∵M(jìn)為AB的中點(diǎn)，∴AM=BM.
而∠PAM=∠CBM=90°,∴PM=CM.
又N為PC的中點(diǎn)，∴MN⊥PC.
由（1）知，MN⊥CD，PC∩CD=C,
∴MN⊥平面PCD.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

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已知是不共面的直線，且，，，求證：．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖,已知三棱錐P-ABC中，PA、PB、PC與底面ABC成相等的角，∠CAB=90°,AC=AB,D為BC的中點(diǎn)，E點(diǎn)在PB上，PC∥截面EAD.

(1)求證:平面PBC⊥底面ABC.
(2)若AB=PB，求AE與底面ABC所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，M、N分別是BC和A1B1的中點(diǎn).
求證：MN∥平面AA1C1.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖所示，正四棱錐P—ABCD的各棱長均為13，M，N分別為PA，BD上的點(diǎn)，且PM∶MA=BN∶ND=5∶8.

（1）求證：直線MN∥平面PBC；
（2）求線段MN的長.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知正方形，于，于．
平面交于，（1）求證：；  （2）求證：面．
 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

對(duì)于平面和共面的直線m、n，下列命題中真命題是 (        )
A．若m⊥，m⊥n，則n∥B．若m∥，n∥，則m∥n
C．若m，n∥，則m∥nD．若m、n與所成的角相等，則n∥m

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在三棱錐S-ABC中，底面ABC是邊長為4的正三角形，側(cè)面SAC⊥底面ABC，SA=SC=2
3
，M，N分別為AB，SB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AC⊥SB；
（Ⅱ）求二面角N-CM-B的大小的正切值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

在正方體中，若是的中點(diǎn)，則直線垂直于（   ）
A．B．C．D．

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