Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，O分別為CC₁和BD的中點．
（Ⅰ）求證：A₁O⊥平面MBD；
（Ⅱ）求二面角A₁-DM-B的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）以點D為坐標(biāo)原點，DA，DC方向分別是x軸、y軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，設(shè)正方體棱長為2，根據(jù)向量垂直的充要條件及線面垂直的判定定理可得A₁O⊥平面MBD；
（Ⅱ）求出平面A₁DM的法向量，結(jié)合（I）中

A1O

為平面MBD的一個法向量，代入向量夾角公式，可得答案．

解答：證明：（Ⅰ）以點D為坐標(biāo)原點，DA，DC方向分別是x軸、y軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，
設(shè)正方體棱長為2，則A（2，0，0），B（2，2，0），A₁（2，0，2），C₁（0，2，2），O（1，1，0），M（0，2，1），…（4分）
則

A1O

=（-1，1，-2），

BD

=（-2，-2，0），

DM

=（0，2，1），
∵

A1O

•

BD

=0，

A1O

•

DM

=0，…（8分）
∴

A1O

⊥

BD

，

A1O

⊥

DM

，
即A₁O⊥BD，A₁O⊥DM
又∵BD∩DM=D，BD，DM?平面MBD
∴A₁O⊥平面MBD；    …（10分）
解：（Ⅱ）設(shè)平面A₁DM的法向量為

n

=（a，b，c），

A1D

=（-2，0，-2），
由

A1D

⊥

n

，

DM

⊥

n

得

∴

A1D • n =0 DM • n =

則

-2a-2c=0 2b+c=0

，
令b=1，則

n

=（-2，-1，2），…（15分）
cos＜

A1O

，

n

＞=

2-1-4

6 •3

=-

6

6

，
∴二面角A₁-DM-B的余弦值-

6

6

                …（20分）

點評：本題考查的知識點是有空間向量求平面間的夾角，建立空間坐標(biāo)系將空間線線垂直及二面角轉(zhuǎn)化為向量垂直及向量夾角問題是解答的關(guān)鍵．