Question

已知橢圓D：+=1與圓M：x²+（y-5）²=9，雙曲線G與橢圓D有相同焦點(diǎn)，它的兩條漸近線恰好與圓M相切，求雙曲線G的方程．

Answer 1

解：∵橢圓D+=1的兩個(gè)焦點(diǎn)F₁（-5，0），F(xiàn)₂（5，0），因而雙曲線中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且c=5．
設(shè)雙曲線G的方程為-=1（a＞0，b＞0）
∴漸近線為bx±ay=0且a²+b²=25，
∵圓心M（0，5）到兩條漸近線的距離為r=3，
∴=3，即=3，解得a=3，b=4，
∴G方程為-=1．
分析：依題意，設(shè)雙曲線G的方程為-=1（a＞0，b＞0），從而得到其漸近線方程，由橢圓方程可求得雙曲線G的兩個(gè)焦點(diǎn)F₁（-5，0），F(xiàn)₂（5，0），利用圓心M（0，5）到兩條漸近線的距離為r=3即可求得a，b，從而可得雙曲線G的方程．
點(diǎn)評：本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與橢圓的簡單性質(zhì)，考查點(diǎn)到直線間的距離公式，屬于中檔題．