Question

【題目】已知x∈R，[x]表示不超過x的最大整數(shù)，若函數(shù) 有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．

Answer 1

【答案】
【解析】解：由 得 =2a， ①若x＞0，設(shè)g（x）= ，
則當(dāng)0＜x＜1，[x]=0，此時(shí)g（x）=0，
當(dāng)1≤x＜2，[x]=1，此時(shí)g（x）= ，此時(shí) ＜g（x）≤1，
當(dāng)2≤x＜3，[x]=2，此時(shí)g（x）= ，此時(shí) ＜g（x）≤1，
當(dāng)3≤x＜4，[x]=3，此時(shí)g（x）= ，此時(shí) ＜g（x）≤1，
當(dāng)4≤x＜5，[x]=4，此時(shí)g（x）= ，此時(shí) ＜g（x）≤1，
作出函數(shù)g（x）的圖象，
要使 有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，
即函數(shù)g（x）=2a有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，
則由圖象可知 ＜a≤ ，
②若x＜0，設(shè)g（x）= ，
則當(dāng)﹣1≤x＜0，[x]=﹣1，此時(shí)g（x）=﹣ ，此時(shí)g（x）≥1，
當(dāng)﹣2≤x＜﹣1，[x]=﹣2，此時(shí)g（x）=﹣ ，此時(shí)1≤g（x）＜2，
當(dāng)﹣3≤x＜﹣2，[x]=﹣3，此時(shí)g（x）=﹣ ，此時(shí)1≤g（x）＜ ，
當(dāng)﹣4≤x＜﹣3，[x]=﹣4，此時(shí)g（x）=﹣ ，此時(shí)1≤g（x）＜ ，
當(dāng)﹣5≤x＜﹣4，[x]=﹣5，此時(shí)g（x）=﹣ ，此時(shí)1≤g（x）＜ ，
作出函數(shù)g（x）的圖象，
要使 有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，
即函數(shù)g（x）=2a有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，
則由圖象可知 ≤a＜ ，
綜上： ＜a≤ 或 ≤a＜ ，
所以答案是： ．

【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系的相關(guān)知識(shí)，掌握二次函數(shù)的零點(diǎn)：（1）△＞0，方程 有兩不等實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與 軸有兩個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn);（2）△＝0，方程 有兩相等實(shí)根（二重根），二次函數(shù)的圖象與 軸有一個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有一個(gè)二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn);（3）△＜0，方程 無實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與 軸無交點(diǎn)，二次函數(shù)無零點(diǎn)．