Question

（2013•遼寧一模）已知函數(shù)f（x）=-x³+mx在（0，1）上是增函數(shù)
（1）求實(shí)數(shù)m的取值集合A．
（2）當(dāng)m取值集合A．中的最小值時(shí)，定義數(shù)列{a_n}；滿足a₁=3，且a_n＞0，an+1=

-3f′(an)+9

，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式
（3）若b_n=na_n，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求證：S_n＞

3

4

．

Answer 1

分析：（1）先求出導(dǎo)數(shù)f′（x），再由條件得f′（x）=-3x²+m≥0在（0，1）上恒成立，分離出m后再求出m的范圍；
（2）由（1）求出m的值，代入f′（x）后，再代入an+1=

-3f′(an)+9

進(jìn)行化簡得到

an+1

an

=3，結(jié)論即得到證明；
（3）根據(jù)（2）求出b_n，再由通項(xiàng)公式的特點(diǎn)，利用錯(cuò)位相減法求出S_n，由表達(dá)式就可以證明結(jié)論．

解答：解：（1）由題意得f′（x）=-3x²+m，
∵f（x）=-x³+mx在（0，1）上是增函數(shù)，
∴f′（x）=-3x²+m≥0在（0，1）上恒成立，
即m≥3x²，得m≥3，
故所求的集合A為[3，+∞）；
（2）由（1）得，m=3，∴f′（x）=-3x²+3，
∵an+1=

-3f′(an)+9

，a_n＞0，
∴an+1=

9an2

=3a_n，即

an+1

an

=3，
∴數(shù)列{a_n}是以3為首項(xiàng)和公比的等比數(shù)列，
故a_n=3ⁿ；
（3）由（2）得，b_n=na_n=n•3ⁿ，
∴S_n=1•3+2•3²+3•3³+…+n•3ⁿ        ①
3S_n=1•3²+2•3³+3•3⁴+…+n•3ⁿ⁺¹      ②
①-②得，-2S_n=3+3²+3³+…+3ⁿ-n•3ⁿ⁺¹=

3(1-3n)

1-3

-n•3ⁿ⁺¹
化簡得，S_n=

3

4

+

(2n-1)•3n

4

＞

3

4

．

點(diǎn)評：本題是有關(guān)函數(shù)和數(shù)列的綜合題，考查了函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)關(guān)系，等比數(shù)列的定義應(yīng)用，以及錯(cuò)位相減法求出S_n，考查了分析問題和解決問題的能力．