Question

如圖，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知DC=DD₁=2AD=2AB，AD⊥DC，AB∥DC．
（1）求證：D₁C⊥AC₁；
（2）設E是DC上一點，試確定E的位置，使D₁E∥平面A₁BD，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證D₁C⊥AC₁；需證D₁C⊥平面ADC₁即可
（2）確定E的位置，使D₁E∥平面A₁BD，設AD₁∩A₁D=M，BD∩AE=N，連接MN，證明MN∥D₁E即可．
解答：解：（1）證明：在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
連接C₁D，∵DC=DD₁，
∴四邊形DCC₁D₁是正方形．∴DC₁⊥D₁C．
又AD⊥DC，AD⊥DD₁，DC⊥DD₁=D，
∴AD⊥平面DCC₁D₁，D₁C?平面DCC₁D₁，
∴AD⊥D₁C．∵AD，DC₁?平面ADC₁，
且AD⊥DC=D，∴D₁C⊥平面ADC₁，
又AC₁?平面ADC₁，∴D₁C⊥AC₁．

（2）連接AD₁，連接AE，
設AD₁∩A₁D=M，BD∩AE=N，連接MN，∵平面AD₁E∩平面A₁BD=MN，
要使D₁E∥平面A₁BD，
須使MN∥D₁E，
又M是AD₁的中點．∴N是AE的中點．
又易知△ABN≌△EDN，∴AB=DE．
即E是DC的中點．
綜上所述，當E是DC的中點時，可使D₁E∥平面A₁BD．
點評：本題考查直線與平面的平行，空間中直線與平面的位置關系，是中檔題．