Question

【題目】已知函數(shù)
（1）當(dāng)a=1時，求函數(shù)f（x）在x=e﹣1處的切線方程；
（2）當(dāng) 時，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）若x＞0，求函數(shù) 的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：a=1時，函數(shù)f（x）=ln（1+x）﹣ ，

f′（x）= ﹣ = ，f′（e﹣1）= ，

又f（e﹣1）= ，

∴a=1時，函數(shù)f（x）在x=e﹣1處的切線方程是：

y﹣ = （x﹣e+1）

（2）解：由題意得：函數(shù)f（x）的定義域是（﹣1，+∞），

且f′（x）= ，

＜a≤2時，則2a﹣3＞0，

若﹣1＜x＜0或x＞2a﹣3，則f′（x）＞0，若0＜x＜2a﹣3，則f′（x）＜0，

∴f（x）在區(qū)間（﹣1，0）（2a﹣3，+∞）遞增，在（0，2a﹣3）遞減

（3）解：顯然g（x）=g（ ），令φ（x）=lng（x），

因此φ（x）在（0，+∞）上的最大值等于其在（0，1）上的最大值，

φ′（x）=（1﹣ ）ln（1+x）+（x+ ） ﹣lnx﹣1，

設(shè)h（x）=（1﹣ ）ln（1+x）+（x+ ） ﹣lnx﹣1，

h′（x）= ，

由（2）得，當(dāng)a=2時，f（x）在區(qū)間（0，1]遞減，

則f（x）=ln（1+x）﹣ ＜f（0）=0，h′（x）＜0，

故函數(shù)h（x）在區(qū)間（0，1]遞減，于是h（x）≥h（1）=0，

從而函數(shù)φ（x）在區(qū)間（0，1]遞增，

進(jìn)而φ（x）≤φ（1）=2ln2，

∵φ（x）=lng（x），

∴函數(shù)g（x）的最大值是4

【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計算f′（e﹣1），f（e﹣1）的值，求出切線方程即可；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)a的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（3）令φ（x）=lng（x），根據(jù)φ（x）在（0，+∞）上的最大值等于其在（0，1）上的最大值，求出φ（x）的最大值，從而求出g（x）的最大值即可．
【考點精析】利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．