【題目】已知函數(shù).
(1)證明:當(dāng)時(shí),函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù);
(2)當(dāng)時(shí),恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】 (1)見(jiàn)解析;(2) .
【解析】試題分析:
(1)由題意得,再令,利用導(dǎo)數(shù)可得在取得最小值,且,于是,從而得到在上是單調(diào)遞增函數(shù).(2)由題意分離參數(shù)可得當(dāng)時(shí),恒成立.令,利用導(dǎo)數(shù)可得到當(dāng)時(shí),取得最小值,且,從而可得,即為所求的范圍.
試題解析:
(1)∵,
∴,
令,
則,
則當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減;
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增.
∴函數(shù)在取得最小值,且最小值為,
∴在上恒成立,
∴在上是單調(diào)遞增函數(shù).
(2)由題意得當(dāng)時(shí),恒成立,
∴當(dāng)時(shí),恒成立.
令,
則,
令,
則.
∴時(shí),單調(diào)遞增,
∴,即.
∴當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減;
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增.
∴當(dāng)時(shí),取得最小值,且,
∴.
故實(shí)數(shù)的取值范圍為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)在上單調(diào),且函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,若數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列,且,則的前100項(xiàng)的和為( )
A. 300B. 100C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某工廠采用甲、乙兩種不同生產(chǎn)方式生產(chǎn)某零件,現(xiàn)對(duì)兩種生產(chǎn)方式所生產(chǎn)的這種零件的產(chǎn)品質(zhì)量進(jìn)行對(duì)比,其質(zhì)量按測(cè)試指標(biāo)可劃分為:指標(biāo)在區(qū)間100的為一等品;指標(biāo)在區(qū)間的為二等品現(xiàn)分別從甲、乙兩種不同生產(chǎn)方式所生產(chǎn)的零件中,各自隨機(jī)抽取100件作為樣本進(jìn)行檢測(cè),測(cè)試指標(biāo)結(jié)果的頻率分布直方圖如圖所示:
若在甲種生產(chǎn)方式生產(chǎn)的這100件零件中按等級(jí),利用分層抽樣的方法抽取10件,再?gòu)倪@10件零件中隨機(jī)抽取3件,求至少有1件一等品的概率;
將頻率分布直方圖中的頻率視作概率,用樣本估計(jì)總體若從該廠采用乙種生產(chǎn)方式所生產(chǎn)的所有這種零件中隨機(jī)抽取3件,記3件零件中所含一等品的件數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某蔬菜加工廠加工一種蔬菜,并對(duì)該蔬菜產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量評(píng)級(jí),現(xiàn)對(duì)甲、乙兩臺(tái)機(jī)器所加工的蔬菜產(chǎn)品隨機(jī)抽取一部分進(jìn)行評(píng)級(jí),結(jié)果(單位:件)如表1:
(1)若規(guī)定等級(jí)為合格等級(jí),等級(jí)為優(yōu)良等級(jí),能否有的把握認(rèn)為“蔬菜產(chǎn)品加工質(zhì)量與機(jī)器有關(guān)”?
(2)表2是用清水千克清洗該蔬菜千克后,該蔬菜上殘留的農(nóng)藥微克的統(tǒng)計(jì)表,若用解析式作為與的回歸方程,求出與的回歸方程.(結(jié)果精確到)(參考數(shù)據(jù):,,,.)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè),已知函數(shù),.
(Ⅰ)設(shè),求在上的最大值.
(Ⅱ)設(shè),若的極大值恒小于0,求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為考察某種疫苗預(yù)防疾病的效果,進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn),得到統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下:現(xiàn)從所有試驗(yàn)動(dòng)物中任取一只,取到“注射疫苗”動(dòng)物的概率為.
未發(fā)病 | 發(fā)病 | 總計(jì) | |
未注射疫苗 | 20 | x | A |
注射疫苗 | 40 | y | B |
總計(jì) | 60 | 40 | 100 |
(1)求2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)x,y,A,B的值.
(2)能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為疫苗有效?
附:
臨界值表:
P(K2≥k0) | 0.05 | 0.01 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某中學(xué)為了豐富學(xué)生的課外文體活動(dòng),分別開設(shè)了閱讀、書法、繪畫等文化活動(dòng);跑步、游泳、健身操等體育活動(dòng).該中學(xué)共有高一學(xué)生300名,要求每位學(xué)生必須選擇參加其中一項(xiàng)活動(dòng),現(xiàn)對(duì)高一學(xué)生的性別、學(xué)習(xí)積極性及選擇參加的文體活動(dòng)情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì),得到數(shù)據(jù)如下:
(1)在選擇參加體育活動(dòng)的學(xué)生中按性別分層抽取6名,再?gòu)倪@6名學(xué)生中抽取2人了解家庭情況,求2人中至少有1名女生的概率;
(2)是否有99.9%的把握認(rèn)為學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性與選擇參加文化活動(dòng)有關(guān)?請(qǐng)說(shuō)明你的理由.
附:參考公式:,其中.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2020年1月10日,引發(fā)新冠肺炎疫情的病毒基因序列公布后,科學(xué)家們便開始了病毒疫苗的研究過(guò)程.但是類似這種病毒疫苗的研制需要科學(xué)的流程,不是一朝一夕能完成的,其中有一步就是做動(dòng)物試驗(yàn).已知一個(gè)科研團(tuán)隊(duì)用小白鼠做接種試驗(yàn),檢測(cè)接種疫苗后是否出現(xiàn)抗體.試驗(yàn)設(shè)計(jì)是:每天接種一次,3天為一個(gè)接種周期.已知小白鼠接種后當(dāng)天出現(xiàn)抗體的概率為,假設(shè)每次接種后當(dāng)天是否出現(xiàn)抗體與上次接種無(wú)關(guān).
(1)求一個(gè)接種周期內(nèi)出現(xiàn)抗體次數(shù)的分布列;
(2)已知每天接種一次花費(fèi)100元,現(xiàn)有以下兩種試驗(yàn)方案:
①若在一個(gè)接種周期內(nèi)連續(xù)2次出現(xiàn)抗體即終止本周期試驗(yàn),進(jìn)行下一接種周期,試驗(yàn)持續(xù)三個(gè)接種周期,設(shè)此種試驗(yàn)方式的花費(fèi)為元;
②若在一個(gè)接種周期內(nèi)出現(xiàn)2次或3次抗體,該周期結(jié)束后終止試驗(yàn),已知試驗(yàn)至多持續(xù)三個(gè)接種周期,設(shè)此種試驗(yàn)方式的花費(fèi)為元.本著節(jié)約成本的原則,選擇哪種實(shí)驗(yàn)方案.
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