Question

已知橢圓

x2

2

+y2=1．
（1）求斜率為2的平行弦的中點(diǎn)軌跡方程；
（2）過A（2，1）的直線l與橢圓相交，求l被截得的弦的中點(diǎn)軌跡方程；
（3）過點(diǎn)P（

1

2

，

1

2

）且被P點(diǎn)平分的弦所在的直線方程．

Answer 1

分析：（1）設(shè)弦的兩端點(diǎn)分別為M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），中點(diǎn)為R（x，y），則x12+2y12=2，x22+2y22=2，兩式相減得

x1-y2

y1-x2

=-

x1+x2

2(y1+y2 )

=-

x

2y

，由此能求出斜率為2的平行弦的中點(diǎn)軌跡方程．
（2）設(shè)直線方程為y-1=k（x-2），設(shè)兩交點(diǎn)分別為（x₃，y₃），（x₄，y₄），則

x3 2

2

+y32=1，

x42

2

+y42=1，兩式相減得

(x3+x4)(x3-x4)

2

+ (y3 +y4)(y3-y4)=0，故

x3+x4

2

+

(y3+y4)(y3-y4)

x3-x4

=0，令中點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），則x+2y•

y3-y4

x3-x4

=0，由此能求出l被截得的弦的中點(diǎn)軌跡方程．
（3）設(shè)過點(diǎn)P（

1

2

，

1

2

）的直線與

x2

2

+y2=1交于E（x₅，y₅），F(xiàn)（x₆，y₆），由P（

1

2

，

1

2

）是EF的中點(diǎn)，知x₅+x₆=1，y₅+y₆=1，把E（x₅，y₅），F(xiàn)（x₆，y₆）代入與

x2

2

+y2=1，得k=

y5-y6

x5-x6

=-

1

2

，由此能求出過點(diǎn)P（

1

2

，

1

2

）且被P點(diǎn)平分的弦所在的直線方程．

解答：解：（1）設(shè)弦的兩端點(diǎn)分別為M（x₁，y₁），N（x₂，y₂） 的中點(diǎn)為R（x，y），
則x12+2y12=2，x22+2y22=2，
兩式相減并整理可得

x1-x2

y1-y2

=

2(y1+y2)

x1+x2

=-

x

2y

，①
將

y1-y2

x1-x2

=2代入式①，得所求的軌跡方程為x+4y=0（橢圓內(nèi)部分）．
（2）可設(shè)直線方程為y-1=k（x-2）（k≠0，否則與橢圓相切），
設(shè)兩交點(diǎn)分別為（x₃，y₃），（x₄，y₄），
則

x3 2

2

+y32=1，

x42

2

+y42=1，兩式相減得

(x3+x4)(x3-x4)

2

+ (y3 +y4)(y3-y4)=0，
顯然x₃≠x₄（兩點(diǎn)不重合），
故

x3+x4

2

+

(y3+y4)(y3-y4)

x3-x4

=0，
令中點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），
則x+2y•

y3-y4

x3-x4

=0，
又（x，y）在直線上，所以

y-1

x-2

=k，
顯然

y3-y4

x3-x4

=k，
故x+2y•k=x+2y•

y-1

x-2

=0，即所求軌跡方程為x²+2y²-2x-2y=0（夾在橢圓內(nèi)的部分）．
（3）設(shè)過點(diǎn)P（

1

2

，

1

2

）的直線與

x2

2

+y2=1交于E（x₅，y₅），F(xiàn)（x₆，y₆），
∵P（

1

2

，

1

2

）是EF的中點(diǎn)，
∴x₅+x₆=1，y₅+y₆=1，
把E（x₅，y₅），F(xiàn)（x₆，y₆）代入與

x2

2

+y2=1，
得

x52+2y52=2 x62+2y62=2

，
∴（x₅+x₆）（x₅-x₆）+2（y₅+y₆）（y₅-y₆）=0，
∴（x₅-x₆）+2（y₅-y₆）=0，
∴k=

y5-y6

x5-x6

=-

1

2

，
∴過點(diǎn)P（

1

2

，

1

2

）且被P點(diǎn)平分的弦所在的直線方程：y-

1

2

=-

1

2

(x-

1

2

)，
即2x+4y-3=0．

點(diǎn)評：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，是中檔題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)差法的合理運(yùn)用．