Question

用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)于大于1的任意自然數(shù)n，都有

1

12

+

1

22

+

1

32

…

1

n2

＜2-

1

n

成立．

Answer 1

分析：首先題目要求應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，數(shù)學(xué)歸納法的一般步驟是，第一步驗(yàn)證第一項(xiàng)是否成立，第二步假設(shè)n=k時(shí)候結(jié)論成立，去驗(yàn)證n=k+1時(shí)候結(jié)論是否成立．若都成立即得證．

解答：證明：①當(dāng)n=2時(shí)，結(jié)論成立；
②假設(shè)n=k（k＞1，k∈Z）時(shí)，不等式成立；
當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊 ＜2-

1

k

+

1

(k+1) 2

，
下證：2-

1

k

+

1

(k+1) 2

＜ 2-

1

k+1

即證：

1

k+1

-

1

k

+

1

(k+1) 2

＜ 0，
即證

1

(k+1) 2

＜ 

1

k(k+1)

，?k+1＞k，這個(gè)是顯然成立的，
得結(jié)論成立，即當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式成立，
由①②根據(jù)歸納原理，不等式成立．
即得證．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查的是用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，屬于中檔題目，同學(xué)們做題的時(shí)候要注意分析題目要求切忌不能用別的方法證明．