Question

在直角坐標(biāo)系中，已知A（-1，0），B（1，0），點(diǎn)M滿足

MA

MB

=

2

，則直線AM的斜率的取值范圍為

[-1，1]

．

Answer 1

分析：設(shè)M（x，y），根據(jù)

MA

MB

=

2

由兩點(diǎn)間的距離公式化簡(jiǎn)得x²+y²-6x+1=0．設(shè)AM的斜率為k=

y

x+1

，可得y=k（x+1），代入前面的方程化簡(jiǎn)整理，得到關(guān)于x的一元二次方程．最后根據(jù)方程有實(shí)根利用根的判別式建立關(guān)于k的不等式，解之即可得到直線AM的斜率k的取值范圍．

解答：解：設(shè)M（x，y），直線AM的斜率為k，可得
∵A（-1，0），B（1，0），∴MA=

(x+1)2+y2

，MB=

(x-1)2+y2

．
∵點(diǎn)M滿足

MA

MB

=

2

，∴MA=

2

MB，即

(x+1)2+y2

=

2

(x-1)2+y2

，
兩邊平方，得（x+1）²+y²=2[（x-1）²+y²]，
化簡(jiǎn)整理得x²+y²-6x+1=0，
∵AM的斜率為k=

y

x+1

，
∴y=k（x+1），代入上式并化簡(jiǎn)得（1+k²）x²+（2k²-6）x+k²+1=0．
以上一元二次方程有實(shí)數(shù)解，可得△=（2k²-6）²-4（1+k²）²≥0，解之得-1≤k≤1．
即直線AM的斜率的取值范圍為[-1，1]．
故答案為：[-1，1]

點(diǎn)評(píng)：本題給出點(diǎn)M滿足的條件，求M的軌跡并討論直線斜率的取值范圍，著重考查了兩點(diǎn)間的距離公式、直線的斜率公式和一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．