如圖，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝2(1)PD.

(1)證明：平面PQC⊥平面DCQ；
(2)求二面角D—PQ—C的余弦值.

(1)詳見解析；（2）

解析試題分析：（1）要證明兩個平面垂直，一種方法是只需在一個平面內找另一個平面的一條垂線：另一種方法是可利用若∥，則，由題可知面，則，再證明,則面，從而平面⊥平面；（2）求二面角大小，可建立適當?shù)目臻g直角坐標系（需在圖中找兩兩相交且垂直的三條直線，先求兩個半平面的法向量的夾角，從而可確定二面角的大小.
試題解析：(1)∵面，∴，又,所以面，∴，在直角梯形中，設，則，所以，又,所以面，又面，∴平面⊥平面；
（2）法一）由（1）知兩兩垂直，故以為坐標原點，的方向分別為軸，建立空間直角坐標系

設，則,設面的法向量，則
則，令，∴，面的法向量，設的夾角為，所以，所以二面角的余弦值為.
法二）由（1）知面，∴就是二面角的平面角，在中，所以.
考點：1、面面垂直的判定；2、二面角的求法.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，四面體中，、分別是、的中點，

（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求二面角的正切值；
（Ⅲ）求點到平面的距離．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=5，AC=4，BC=3，AA1=4，D是AB的中點．

（1）求證：AC⊥B1C；
（2）求證：AC1∥平面B1CD；

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，PDCE為矩形，ABCD為梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝CD＝1，PD＝。

（I）若M為PA中點，求證：AC∥平面MDE；
（II）求直線PA與平面PBC所成角的正弦值；
（III）在線段PC上是否存在一點Q（除去端點），使得平面QAD與平面PBC所成銳二面角的大小為？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為直角梯形，且AD∥BC，∠ABC＝∠PAD＝90°，側面PAD⊥底面ABCD，若PA＝AB＝BC＝，AD＝1.

（I）求證：CD⊥平面PAC；
（II）側棱PA上是否存在點E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出點E的位置，并證明，若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，平面平面，是正方形，，且，、、分別是線段、、的中點.

（1）求證：平面；
（2）求異面直線、所成角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知如圖，平行四邊形中，，，，正方形所在平面與平面垂直，分別是的中點。

⑴求證：平面；
⑵求平面與平面所成的二面角的正弦值。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐A-BCDE中，底面四邊形BCDE是等腰梯形，BC∥DE, =45 ,O是BC的中點，AO= ,且BC=6，AD=AE=2CD=2 ，

(1)證明：AO⊥平面BCD；(2)求二面角A-CD-B的平面角的正切值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

在如圖所示的幾何體中，四邊形均為全等的直角梯形，且，.

（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值.

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