【題目】已知函數(shù)，求證：

（1）在區(qū)間存在唯一極大值點(diǎn)；

（2）在上有且僅有2個(gè)零點(diǎn).

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）首先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，設(shè)，對(duì)求導(dǎo)，說(shuō)明其單調(diào)性，再根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可得在有唯一零點(diǎn)，從而得證；

（2）結(jié)合（1）的單調(diào)性利用零點(diǎn)存在性定理證明上有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)無(wú)零點(diǎn).

解：（1）因?yàn)?/span>，所以，

設(shè)，則，則當(dāng)時(shí)，，

所以即在單調(diào)遞減，

又，，且圖像是不間斷的，

由零點(diǎn)存在性定理可得在有唯一零點(diǎn)，設(shè)為.

則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，

故在存在唯一極大值點(diǎn).

（2）因?yàn)?/span>，所以，

設(shè)，則，則當(dāng)時(shí)，，

所以即在單調(diào)遞減，

由（1）知，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.

又，，所以，

又的圖像是不間斷的，所以存在，使得；

又當(dāng)時(shí)，，所以在遞減，

因，又，又的圖像是不間斷的，

所以存在，使得；

當(dāng)時(shí)，，，所以，從而在沒(méi)有零點(diǎn).

綜上，有且僅有2個(gè)零點(diǎn).

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】“既要金山銀山，又要綠水青山”。某風(fēng)景區(qū)在一個(gè)直徑為米的半圓形花圓中設(shè)計(jì)一條觀光線路。打算在半圓弧上任選一點(diǎn)（與不重合），沿修一條直線段小路，在路的兩側(cè)（注意是兩側(cè)）種植綠化帶；再沿弧修一條弧形小路，在小路的一側(cè)（注意是一側(cè)）種植綠化帶，小路與綠化帶的寬度忽略不計(jì)。

（1）設(shè)（弧度），將綠化帶的總長(zhǎng)度表示為的函數(shù)；

（2）求綠化帶的總長(zhǎng)度的最大值。

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】對(duì)定義在[0，1]上，并且同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件的函數(shù)f（x）稱為G函數(shù)．

①對(duì)任意的x∈[0，1]，總有f（x）≥0；

②當(dāng)x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1時(shí)，總有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立．已知函數(shù)g（x）=x2與h（x）=2x﹣b是定義在[0，1]上的函數(shù)．

（1）試問(wèn)函數(shù)g（x）是否為G函數(shù)？并說(shuō)明理由；

（2）若函數(shù)h（x）是G函數(shù)，求實(shí)數(shù)b組成的集合．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），若以直角坐標(biāo)系中的原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為（為實(shí)數(shù).）

（1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）若曲線與曲線有公共點(diǎn)，求的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）設(shè)時(shí)，求的導(dǎo)函數(shù)的遞增區(qū)間；

（2）設(shè) ，求的單調(diào)區(qū)間；

（3）若 對(duì) 恒成立，求的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知為橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，且軸．

（1）求的方程；

（2）過(guò)的直線交于兩點(diǎn)，交直線于點(diǎn)．判定直線的斜率是否依次構(gòu)成等差數(shù)列？請(qǐng)說(shuō)明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】下列四種說(shuō)法中，

①命題“存在x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“對(duì)于任意x∈R，x2﹣x＜0”；

②命題“p且q為真”是“p或q為真”的必要不充分條件；

③已知冪函數(shù)f（x）＝xα的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，），則f（4）的值等于；

④已知向量a＝（3,4），b＝（2,1），b =（2,1），則向量a在向量b方向上的投影是，

其中說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是（　�。�

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中是的導(dǎo)函數(shù).

若.

（1）求的表達(dá)式；

（2）求證：，其中n∈N*.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知直線的參數(shù)方程為為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)點(diǎn)，直線與曲線交于兩點(diǎn)，求的值.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案