Question

若函數(shù)都在區(qū)間上有定義，對(duì)任意，都有成立，則稱函數(shù)為區(qū)間上的“伙伴函數(shù)”
（1）若為區(qū)間上的“伙伴函數(shù)”，求的范圍。
（2）判斷是否為區(qū)間上的“伙伴函數(shù)”？
（3）若為區(qū)間上的“伙伴函數(shù)”，求的取值范圍

Answer 1

（1）；（2）它們是“伙伴函數(shù)”；（3）。

試題分析：（1）由已知：
所以，解出：，從而
（2）由已知：，其中
由二次函數(shù)的圖像可知：當(dāng)時(shí)，
所以恒成立，所以它們是“伙伴函數(shù)”
（3）由已知：在時(shí)恒成立。
即：在時(shí)恒成立，分離參數(shù)可得：
在時(shí)恒成立，所以
函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞增，所以其最大值為
函數(shù)為雙勾函數(shù)，利用圖像可知其最小值為 所以。
點(diǎn)評(píng)：難題，本題以新定義函數(shù)的形式，重點(diǎn)考查指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)及二次函數(shù)的性質(zhì)，恒成立問題解法。對(duì)于“恒成立問題”往往轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值問題。本題利用了“分離參數(shù)法”。