(Ⅰ)求證:AC⊥平面BB1C1C;
(Ⅱ)求AB1與平面BB1C1C所成角的正切值;
(Ⅲ)在平面AA1B1B內(nèi)找一點P,使三棱錐P-BB1C為正三棱錐,并求點P到平面BB1C的距離.
解:(Ⅰ)∵面BB1C1C⊥面ABC,交線為BC,AC⊥BC,∴AC⊥面BB1C1C
(Ⅱ)連B1C,由(Ⅰ)知AC⊥平面BB1C1C,∴∠CB1A就是AB1與平面BB1C1C所成的角.
取BB1中點E,連CE、AE,在△CBB1中,BB1=BC=2,∠B1BC=60°,∴△CBB1是正三角形,∴CE⊥BB1,又AC⊥平面BB1C1C,∴AE⊥BB1,∴∠CFA為二面角A-BB1-C的平面角,∠CEA=30°
在Rt△CEA中,AC=CEtan30°=1,∴在Rt△AB1C中,tan∠AB1C=
(Ⅲ)在CE上取點P1,使=2,則P1為△B1BC的重心即中心.作P1P∥AC交AE于P
∵AC⊥平面BB1C1C,∴PP1⊥面BB1C1C,即P在平面B1C1C上的射影是△BCB1中心
∴P-BB1C為正三棱錐,且,∴PP1=,即P到平面BB1C的距離為。
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