Question

下列命題中，真命題的個(gè)數(shù)為（　　）
（1）在△ABC中，若A＞B，則sinA＞sin B；
（2）已知

AB

=(3，4)，

CD

=(-2，-1)，則

AB

在

CD

上的投影為-2；
（3）已知p：?x∈R，cosx=1，q：?R，x²-x+1＞0，則“p∧￢q”為假命題
（4）要得到函數(shù)y=cos(

x

2

-

π

4

)的圖象，只需將y=sin

x

2

的圖象向左平移

π

4

個(gè)單位．

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：對于（1）可先證充分性，由，“A＞B”推導(dǎo)“sinA＞sinB”，分A是銳角與A不是銳角兩類證明即可；再證必要性，由于在（0，π）上正弦函數(shù)不是單調(diào)函數(shù)，可分兩類證明，當(dāng)A是鈍角時(shí)，與A不是鈍角時(shí)，易證，再由充分條件必要條件的定義得出正確選項(xiàng)即可；
對于（2）先求得向量的坐標(biāo)，再求得其數(shù)量積和模，然后用投影公式求解．判斷即可．
對于（3）分別判斷兩個(gè)命題的正誤，進(jìn)而根據(jù)復(fù)合命題真假判斷的真值表，可判斷其正誤
對于（4）求出將y=sin

x

2

的圖象向左平移

π

4

個(gè)單位后函數(shù)的解析式，比照后可得到結(jié)論

解答：解：（1）由題意，在△ABC中，“A＞B”，由于A+B＜π，必有B＜π-A
若A，B都是銳角，顯然有“sinA＞sinB”成立，
若A，B之一為銳角，必是B為銳角，此時(shí)有π-A不是鈍角，由于A+B＜π，必有B＜π-A≤

π

2

，此時(shí)有sin（π-A）=sinA＞sinB
綜上，△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”成立的充分條件；
當(dāng)sinA＞sinB時(shí)，若A不是銳角，顯然可得出A＞B，若A是銳角，亦可得出A＞B，
綜上在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”成立的必要條件
綜合1°，2°知，在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”成立的充要條件，
本選項(xiàng)正確；
（2）已知

AB

=(3，4)，

CD

=(-2，-1)，|

AB

|=5，|

CD

|=

5

，

AB

cosα=

AB • CD

| CD |

=

-10

5

≠-2，則

AB

在

CD

上的投影為-2，不正確．
（3）p：?x=0∈R，cosx=1，正確；q：?x∈R，x²-x+1=（x-

1

2

）²+

3

4

＞0，正確，所以￢q不正確，則“p∧￢q”為假命題，正確．
（4）函數(shù)y=sin

x

2

的圖象向左平移

π

4

個(gè)單位得到函數(shù)y=sin

x+ π 4

2

=sin(

x

2

+

π

8

)的圖象，而y=sin(

x

2

+

π

8

)和y=cos(

x

2

-

π

4

)不是同一個(gè)函數(shù)
故選B．

點(diǎn)評：本題考查命題的正誤，向量的數(shù)量積的應(yīng)用，三角函數(shù)的對稱軸的應(yīng)用，考查基本知識的靈活運(yùn)用．