Question

已知函數(shù).
（1）若當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為，求的值；
（2）設(shè)（為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)），若函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）.

試題分析：（1）求出導(dǎo)數(shù)方程的根，并以是否在區(qū)間內(nèi)進(jìn)行分類討論，確定函數(shù)單調(diào)性，從而確定函數(shù)在區(qū)間上的最大值，從而求出實(shí)數(shù)的值；（2）解法一是分兩種情況討論，一種是函數(shù)是增函數(shù)，二是函數(shù)是減函數(shù)，從而得到或在上恒成立，最終轉(zhuǎn)化為或來(lái)處理，從而求出實(shí)數(shù)的取值范圍；解法二是分兩種情況討論，一種是函數(shù)是增函數(shù)，二是函數(shù)是減函數(shù)，從而得到或在上恒成立，利用，對(duì)二次函數(shù)的首項(xiàng)系數(shù)與的符號(hào)進(jìn)行分類討論，從而求出實(shí)數(shù)的取值范圍.
（1）由，
可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，取最大值，
①當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
，解得；
②當(dāng)，即時(shí)，，
解得，與矛盾，不合舍去；
③當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
，解得，與矛盾，不合舍去；
綜上得；
（2）解法一：，
，
顯然，對(duì)于，不可能恒成立，
函數(shù)在上不是單調(diào)遞增函數(shù)，
若函數(shù)在上是單調(diào)遞減函數(shù)，則對(duì)于恒成立，
，解得，
綜上得若函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，則；
解法二：，
，
令，（）
方程（）的根判別式，
當(dāng)，即時(shí)，在上恒有，
即當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上是單調(diào)遞減；
當(dāng)，即時(shí)，方程（）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根：
，，
，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，
即函數(shù)在單調(diào)遞增，在或上單調(diào)遞減，
函數(shù)在上不單調(diào)，
綜上得若函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，則.