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已知函數f(x)=2
3
sin
x
2
cos
x
2
+sin2
x
2
-cos2
x
2
-1．
（1）求函數f（x）的最小正周期和值域；
（2）若α為第二象限角，且f(α+
π
6
)=
1
3
，求
1-cos2a
sin2a
的值．
分析：（1）利用三角函數的恒等變換化簡函數f（x）的解析式為
3
sinx-(1+cosx)=2sin(x-
π
6
)-1，可得f（x）的最小正周期和它的值域．
（2）由條件求得sinα=
2
3
，再由α為第二象限角，可得cosα 和tanα 的值，再由
1-cos2a
sin2a
=
2sin2a
2sina•cosa
=tana，從而求得結果．
解答：解：（1）函數f(x)=2
3
sin
x
2
cos
x
2
+sin2
x
2
-cos2
x
2
-1=
3
sinx-(1+cosx)=2sin(x-
π
6
)-1，
∴f（x）的最小正周期T=
2π
1
=2π，值域[-3，1]．
（2）∵f(α+
π
6
)=2sinα-1=
1
3
，∴sinα=
2
3
，再由α為第二象限角，可得cosα=-
5
3
，tanα=
sinα
cosα
=-
2
5
5
，
∴
1-cos2a
sin2a
=
2sin2a
2sina•cosa
=tana=-
2
5
5
．
點評：本題主要考查三角函數性質及簡單的三角變換，要求學生能正確運用三角函數的概念和公式對已知的三角函數進行化簡求值，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=
2-xx+1
；
（1）求出函數f（x）的對稱中心；
（2）證明：函數f（x）在（-1，+∞）上為減函數；
（3）是否存在負數x0，使得f(x0)=3x0成立，若存在求出x0；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=
2-x-1，x≤0
x
，x＞0
，則f[f（-2）]=
3
3
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=2(sin2x+
3
2
)cosx-sin3x
（1）求函數f（x）的值域和最小正周期；
（2）當x∈[0，2π]時，求使f(x)=
3
成立的x的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=2-
ax+1
(a∈R)的圖象過點（4，-1）
（1）求a的值；
（2）求證：f（x）在其定義域上有且只有一個零點；
（3）若f（x）+mx＞1對一切的正實數x均成立，求實數m的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=
2-2cosx
+
2-2cos(
2π
3
-x)
，x∈[0，2π]，則當x=
4π
3
4π
3
時，函數f（x）有最大值，最大值為
2
3
2
3
．

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