Question

已知函數(shù)滿足如下條件：當(dāng)時(shí)，，且對(duì)任
意，都有.
（1）求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程；
（2）求當(dāng)，時(shí)，函數(shù)的解析式；
（3）是否存在，、、、、，使得等式
成立？若存在就求出（、、、、），若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

（1）；（2）；（3）詳見(jiàn)解析.

試題分析：（1）先求出與的值，利用點(diǎn)斜式求出相應(yīng)的切線方程；（2）利用題中的條件結(jié)合迭
代法求出函數(shù)在區(qū)間上的解析式；（3）構(gòu)造新函數(shù)，考
查函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，求出函數(shù)在區(qū)間上
的最小值，于是得到，然后利用分組求和法與錯(cuò)位相減法來(lái)證明
題中相應(yīng)的等式.
（1）時(shí)，，，
所以，函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，即；
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824052417862795.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以，當(dāng)，時(shí)，，

；
（3）考慮函數(shù)，，，
則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
所以，當(dāng)，時(shí)，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，.
所以，，
而，
令，則，
兩式相減得，
，
所以，，
故，
所以，，
當(dāng)且僅當(dāng)，、、、、時(shí)，
，
所以，存在唯一一組實(shí)數(shù)，、、、、，
使得等式成立.