Question

已知等差數(shù)列的公差大于0，且是方程的兩根，數(shù)列的前項(xiàng)的和為，且．
（1） 求數(shù)列，的通項(xiàng)公式； （2） 記,求數(shù)列的前項(xiàng)和．

Answer 1

（1），；（2）.

試題分析：（1）解方程可得，，再由等差數(shù)列公差公差，可知，，，，再考慮到當(dāng)時(shí)，，因此可以由條件得到的一個(gè)遞推公式，從而求得通項(xiàng)公式：當(dāng)時(shí)，有，，
當(dāng)時(shí)，有，∴，因此數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，∴；（2）由（1）可知，通項(xiàng)公式這是一個(gè)等差數(shù)列與等比數(shù)列的乘積，因此可以考慮采用錯(cuò)位相減法求得數(shù)列的前項(xiàng)和：①，
①，得②，①-②，得
，∴.
試題解析：（1）∵是方程的兩根，且數(shù)列的公差，
∴，，公差，∴，          3分
當(dāng)時(shí)，有，∴，
當(dāng)時(shí)，有，∴，
∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，∴；         6分
（2）由（1）知，∴①，
①，得②，①-②，得
，∴.  ...............12分