【題目】已知函數(shù)，.

（1）若對時，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍（e為自然對數(shù)的底數(shù)）；

（2）當(dāng)時，求函數(shù)的極大值；

（3）求證：當(dāng)時，曲線與直線有且僅有一個公共點(diǎn).

【答案】（1）（2）0（3）見解析

【解析】

（1）因?yàn)?/span>，，所以不等式，構(gòu)造函數(shù)，即在上單調(diào)遞增，所以在恒成立，參變分離即可求出參數(shù)的取值范圍；

（2）當(dāng)時，，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)即可得到函數(shù)的單調(diào)性，從而得到函數(shù)的極值；

（3）令，利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)，即可得證.

解：（1）因?yàn)?/span>，，

所以不等式恒成立等價于.

令，因?yàn)?/span>時，不等式恒成立，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，

所以在恒成立，

即在恒成立，而，

所以，即，

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

（2）當(dāng)時，，

則（），

令，恒成立，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，

又因?yàn)?/span>，

所以在上，在上，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

所以函數(shù)的極大值為.

（3）令，

則

因?yàn)?/span>，，

所以恒成立，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，

而，，

因?yàn)?/span>，，，

所以，

因?yàn)楹瘮?shù)在上有且僅有一個零點(diǎn)，

所以當(dāng)時，曲線與直線有且只有一個公共點(diǎn).

練習(xí)冊系列答案
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（1）求橢圓的方程；

（2）過橢圓的左焦點(diǎn)作平行于直線（是坐標(biāo)原點(diǎn)）的直線，與曲線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，求證：成等比數(shù)列．

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（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過圓上任意一點(diǎn)P作圓E的切線l，若l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：為定值.

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（1）求橢圓及拋物線的方程；

（2）設(shè)過且互相垂直的兩動直線，與橢圓交于兩點(diǎn)，與拋物線交于兩點(diǎn)，求四邊形面積的最小值

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