Question

（1）已知函數(shù)f（x）=-x²+4（x∈（-1，2）），P、Q是f（x）圖象上的任意兩點(diǎn)．
①試求直線PQ的斜率k_PQ的取值范圍；
②求f（x）圖象上任一點(diǎn)切線的斜率k的范圍；
（2）由（1）你能得出什么結(jié)論？（只須寫出結(jié)論，不必證明），試運(yùn)用這個(gè)結(jié)論解答下面的問(wèn)題：已知集合M_D是滿足下列性質(zhì)函數(shù)f（x）的全體：若函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，對(duì)任意的x₁，x₂∈D，（x₁≠x₂）有|f（x₁）-f（x₂）|＜|x₁-x₂|．
①當(dāng)D=（0，1）時(shí)，f（x）=lnx是否屬于M_D，若屬于M_D，給予證明，否則說(shuō)明理由；
②當(dāng)，函數(shù)f（x）=x³+ax+b時(shí)，若f（x）∈M_D，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）①設(shè)P（x₁，f（x₁）），Q（x₂，f（x₂））由斜率公式用兩點(diǎn)坐標(biāo)表示出，再根據(jù)定義域求范圍．
②求出導(dǎo)函數(shù)的值域，即為割線的斜率的取值范圍．
（2）得出結(jié)論，函數(shù)y=f（x）圖象上任意兩點(diǎn)P、Q連線的斜率的取值范圍，
就是曲線上任一點(diǎn)切線的斜率（如果有的話）的范圍；對(duì)于①解出導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)x∈（0，1），導(dǎo)數(shù)大于1，由（1）的結(jié)論，這與|f（x₁）-f（x₂）|＜|x₁-x₂|矛盾，f（x）=lnx∉M_D．對(duì)于②解出導(dǎo)函數(shù)由定義域知a＜f′（x）＜1+a．若f（x）∈M_D，則可根據(jù)定義得出關(guān)于a的不等式組，解之，有解既得實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解答：解：（1）=1 ①設(shè)P（x₁，f（x₁）），Q（x₂，f（x₂））是f（x）圖象上的任意兩點(diǎn)（x₁≠x₂），則，
由x₁，x₂∈（-1，2），知-（x₁+x₂）∈（-4，2），
∴直線PQ的斜率k_PQ的取值范圍是（-4，2）；
②由f′（x）=-2x，x∈（-1，2），得f′（x）∈（-4，2），
∴f（x）圖象上任一點(diǎn)切線的斜率k的范圍是（-4，2）；
（2）由（1）得：函數(shù)y=f（x）圖象上任意兩點(diǎn)P、Q連線的斜率的取值范圍，
就是曲線上任一點(diǎn)切線的斜率（如果有的話）的范圍（其實(shí)由導(dǎo)數(shù)的定義可得）．
①∵，∴若x∈（0，1），f′（x）＞1⇒|f′（x）|＞1，
∴，當(dāng)x₁，x₂∈（0，1）時(shí)，f（x）=lnx∉M_D．
②由f（x）=x³+ax+b⇒f′（x）=3x²+a，當(dāng)時(shí)，
a＜f′（x）＜1+a．∵f（x）∈M_D，
∴，
∴，得-1≤a≤0．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-1，0]．
點(diǎn)評(píng)：考查函數(shù)圖象上兩點(diǎn)連線的斜率與函數(shù)在這一段上的導(dǎo)數(shù)的值域的關(guān)系，對(duì)于第（II）問(wèn)，其中①判斷該函數(shù)是否符合定義，其②是根據(jù)函數(shù)符合定義轉(zhuǎn)化成不等式組求參數(shù)．請(qǐng)讀者認(rèn)真體會(huì)這兩個(gè)題型的同同．