如圖,在四面體ABCD中,平面EFGH分別平行于棱CD、AB,E、F、G、H分別在BD、BC、AC、AD上,且CD=a,AB=b,CD⊥AB.
(1)求證:四邊形EFGH是矩形.
(2)設(shè)
DEDB
=λ(0<λ<1)
,問λ為何值時,四邊形EFGH的面積最大?
分析:(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)證明四邊形EFGH是矩形.
(2)根據(jù)邊長關(guān)系,建立函數(shù)關(guān)系,然后求四邊形EFGH的面積.
解答:解:(1)證明:∵CD∥面EFGH,CD?平面BCD,
而平面EFGH∩平面BCD=EF.∴CD∥EF同理HG∥CD.∴EF∥HG
同理HE∥GF.∴四邊形EFGH為平行四邊形…(3分)
由CD∥EF,HE∥AB∴∠HEF(或其補角)為CD和AB所成的角,
又∵CD⊥AB.∴HE⊥EF.∴四邊形EFGH為矩形.…..(6分)
(2)解:由(1)可知在△ABD中EH∥AB,∴
DE
DB
=
EH
AB
,所以EH=λb,
在△BCD中EF∥CD,∴
BE
BD
=
EF
CD
=1-λ
,所以EF=a(1-λ)  …(8分)
又EFGH是矩形,故四邊形EFGH的面積S=a(1-λ)•λb≤ab(
λ+1-λ
2
)2=
1
4
ab
,當且僅當λ=1-λ,
λ=
1
2
時等號成立,即E為BD的中點時,矩形EFGH的面積最大為
1
4
ab….(12分)
點評:本題主要考查空間直線和平面位置關(guān)系的判斷和應(yīng)用,考查學(xué)生的運算和推理能力.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在正三角形ABC中,D,E,F(xiàn)分別為各邊的中點,G,H分別為DE,AF的中點,將△ABC沿DE,EF,DF折成正四面體P-DEF,則四面體中異面直線PG與DH所成的角的余弦值為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在正三角形ABC中,D,E,F(xiàn)分別為各邊的中點,G,H分別為DE,AF的中點,將△ABC沿DE,EF,DF折成正四面體P-DEF,則四面體中異面直線PG與DH所成的角的余弦值為( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在四面體ABCD中,BC⊥面ACD,DA=DC,E、F分別為AB、AC的中點.
(1)求證:直線EF∥面BCD;
(2)求證:面DEF⊥面ABC.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2009•武漢模擬)如圖,在四面體A-BCD中,AB=AD=
2
,BD=2,DC=1
,且BD⊥DC,二面角A-BD-C大小為60°.
(1)求證:平面ABC上平面BCD;
(2)求直線CD與平面ABC所成角的正弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在四面體ABCD中,DA=DB=DC=1,且DA,DB,DC兩兩互相垂直,點O是△ABC的中心,將△DAO繞直線DO旋轉(zhuǎn)一周,則在旋轉(zhuǎn)過程中,直線DA與BC所成角的余弦值的取值范圍是(  )
A、[0, 
6
3
]
B、[0, 
3
2
]
C、[0, 
2
2
]
D、[0, 
3
3
]

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