已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f(x)滿足①若x>1,則f(x)<0;②f(
12
)
=1;③對定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x,y,都有:f(xy)=f(x)+f(y),則不等式f(x)+f(5-x)≥-2的解集為
 
分析:用函數(shù)的單調(diào)性求解,先證明單調(diào)性,設(shè)x1,x2∈(0,+∞)且x1<x2,則有f(x2)=f(
x2
x1
x1
)=f(
x2
x1
)+f(x1),f(x2)-f(x1))=f(
x2
x1
)<0,得到f(x)是減函數(shù),然后構(gòu)造單調(diào)性模型,由f(
1
2
)
=1求得2=2f(
1
2
)
=f(
1
4
),再令x=y=1,求得f(1)=0,最后用定義求解,要注意所在的區(qū)間.
解答:解:∵f(
1
2
)
=1
∴2=2f(
1
2
)
=f(
1
4

令x=y=1
∴f(1)=0
∵f(xy)=f(x)+f(y),
∴不等式f(x)+f(5-x)≥-2可轉(zhuǎn)化為:
f(x(5-x))+f(
1
4
)≥0
∴f(
1
4
x(5-x))≥f(1)
設(shè)x1,x2∈(0,+∞)且x1<x2
∴f(x2)=f(
x2
x1
x1
)=f(
x2
x1
)+f(x1
∴f(x2)-f(x1))=f(
x2
x1
)<0
∴f(x)是減函數(shù)
x>0
5-x>0
1
4
x(5-x)≤1

解得:0<x≤1或4≤x<5
故答案為:(0,1]∪[4,5)
點(diǎn)評:本題主要考查抽象函數(shù)所構(gòu)造不等式的解法,一般來講,這類不等式的解法利用函數(shù)的單調(diào)性定義求解,要注意利用主條件等價轉(zhuǎn)化構(gòu)造函數(shù)單調(diào)性模型,將函數(shù)值關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量關(guān)系解決.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f(x)=x2+4ax+1,g(x)=6a2lnx+2b+1,其中a>0.
(Ⅰ)設(shè)兩曲線y=f(x),y=g(x)有公共點(diǎn),且在該點(diǎn)處的切線相同,用a表示b,并求b的最大值;
(Ⅱ)設(shè)h(x)=f(x)+g(x),證明:若a≥
3
-1
,則對任意x1,x2∈(0,+∞),x1≠x2
h(x2)-h(x1)
x2-x1
>8

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f(x)=
12
x2+2ax
,g(x)=3a2lnx+b,其中a>0,設(shè)兩曲線y=f(x),y=g(x)有公共點(diǎn),且在該點(diǎn)處的切線相同.
(Ⅰ)用a表示b,并求b的最大值;
(Ⅱ)求證:f(x)≥g(x)(x>0).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知定義在正實(shí)數(shù)集上的連續(xù)函數(shù)f(x)=
1
1-x
+
2
x2-1
(0<x<1)
x+a   (x≥1)
,則實(shí)數(shù)a的值為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2009•河西區(qū)二模)已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f(x)=
3x22
+ax,g(x)=4a2lnx+b,其中a>0,設(shè)兩曲線x=f(x)與f=g(x)有公共點(diǎn),且在公共點(diǎn)處的切線相同.
(I)若a=1,求兩曲線y=f(x)與y=g(x)在公共點(diǎn)處的切線方程;
(Ⅱ)用a表示b,并求b的最大值.

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