Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ax﹣e（x+1）lna﹣ （a＞0，且a≠1），e為自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）當a=e時，求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間x∈[0，2]上的最大值
（2）若函數(shù)f（x）只有一個零點，求a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a=e時，f（x）=ex﹣e（x+1）lne﹣ =ex﹣e（x+1）﹣ ，

∴f′（x）=ex﹣e，

令f′（x）=0，解得x=1，

當x∈[0，1]時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，

當x∈（1，2]時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，

∵f（0）=1﹣e﹣ ，f（2）=e2﹣3e﹣ ，

∴f（2）﹣f（0）=e2﹣3e﹣ ﹣1+e+ =e2﹣2e﹣1＞0，

∴函數(shù)y=f（x）在區(qū)間x∈[0，2]上的最大值為e2﹣3e﹣

（2）解：f′（x）=axlna﹣elna=lna（ax﹣e），

當0＜a＜1時，由f′（x）=axlna﹣elna=lna（ax﹣e）＜0，得ax﹣e＞0，即x ．

由f′（x）=axlna﹣elna=lna（ax﹣e）＞0，得ax﹣e＜0，即x ．

∴f（x）在（﹣∞， ）上為減函數(shù)，在（ ，+∞）上為增函數(shù)，

∴當x= 時函數(shù)取得最小值為f（ ）= = ．

要使函數(shù)f（x）只有一個零點，則 ，得a= ；

當a＞1時，由f′（x）=axlna﹣elna=lna（ax﹣e）＜0，得ax﹣e＜0，即x ．

由f′（x）=axlna﹣elna=lna（ax﹣e）＞0，得ax﹣e＞0，即x ．

∴f（x）在（﹣∞， ）上為減函數(shù)，在（ ，+∞）上為增函數(shù)，

∴當x= 時函數(shù)取得最小值為f（ ）= = ．

要使函數(shù)f（x）只有一個零點，則 ，得a= （舍）．

綜上，若函數(shù)f（x）只有一個零點，則a=

【解析】（1）把a=e代入函數(shù)解析式，求出導(dǎo)函數(shù)的零點，可得原函數(shù)在[0，1]上單調(diào)遞減，在（1，2]上單調(diào)遞增，結(jié)合f（2）﹣f（0）＞0，可得函數(shù)y=f（x）在區(qū)間x∈[0，2]上的最大值；（2）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分0＜a＜1和a＞1求得原函數(shù)的最小值，由最小值等于0求得a值．
【考點精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識點，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減才能正確解答此題．