(2007•深圳一模)已知點(diǎn)H(-3,0),點(diǎn)P在y軸上,點(diǎn)Q在x軸的正半軸上,點(diǎn)M在直線PQ上,且滿足
HP
PM
=0
,
PM
=-
3
2
MQ

(Ⅰ)當(dāng)點(diǎn)P在y軸上移動(dòng)時(shí),求點(diǎn)M的軌跡C;
(Ⅱ)過(guò)定點(diǎn)D(m,0)(m>0)作直線l交軌跡C于A、B兩點(diǎn),E是D點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn),求證:∠AED=∠BED;
(Ⅲ)在(Ⅱ)中,是否存在垂直于x軸的直線l'被以AD為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)恒為定值?若存在求出l'的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
分析:(I)設(shè)M(x,y),P(0,y'),Q(x',0)則可得
HP
=(3,-
y
2
)
,
PM
=(x,
3y
2
)
,由
HP
PM
=0
代入整理可求點(diǎn)M的軌跡C;
(II)要證明∠AED=∠BED,根據(jù)直線的傾斜角與斜率的關(guān)系,只要證KAE=-KBE即可;分兩種情況討論:(1)當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí),根據(jù)拋物線的對(duì)稱性,有∠AED=∠BED;(2)當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí),利用直線的斜率進(jìn)行轉(zhuǎn)換即得;
(III)假設(shè)存在滿足條件的直線,根據(jù)垂徑定理得性質(zhì)可知,要使弦長(zhǎng)為定值,則只要圓心到直線的距離為定值即可.
解答:解:(Ⅰ)設(shè)M(x,y),P(0,y'),Q(x',0)(x'>0)∵
PM
=-
3
2
MQ
HP
PM
=0

(x,y-y′)=-
3
2
(x′-x,-y)
且(3,y')•(x,y-y')=0…(2分)
x′=
1
3
x,y′=-
1
2
y,3x+yy′-y2=0
.…(3分)∴y2=4x(x>0)…(4分)
∴動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C是以O(shè)(0,0)為頂點(diǎn),以(1,0)為焦點(diǎn)的拋物線(除去原點(diǎn)).…(5分)
(Ⅱ):(1)當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí),根據(jù)拋物線的對(duì)稱性,有∠AED=∠BED;…(6分)
(2)當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí),依題意,可設(shè)直線l的方程為y=k(x-m)(k≠0,m>0),A(x1,y1),B(x2,y2),則A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組
y=k(x-m)
y2=4x(x>0)

消去x并整理,得ky2-4y-4km=0∴y1+y2=
4
k
,y1y2=-4m
…(7分)
設(shè)直線AE和BE的斜率分別為k1、k2,則k1+k2=
y1
x1+m
+
y2
x2+m
=
y1(x2+m)+y2(x1+m)
(x1+m)(x2+m)
=
1
4
y1
y
2
2
+
1
4
y2
y
2
1
+m(y1+y2)
(x1+m)(x2+m)
=
1
4
y1y2(y1+y2)+m(y1+y2)
(x1+m)(x2+m)
=
1
4
(-4m)(
4
k
)+
4m
k
(x1+m)(x2+m)
=0
…(9分)
∴tan∠AED+tan(180°-∠BED)=0∴tan∠AED=tan∠BED∵0<∠AED<
π
2
,0<∠BED<
π
2

∴∠AED=∠BED.綜合(1)、(2)可知∠AED=∠BED.…(10分)
(Ⅲ)假設(shè)存在滿足條件的直線l',其方程為x=a,AD的中點(diǎn)為O',l'與AD為直徑的圓相交于點(diǎn)F、G,F(xiàn)G的中點(diǎn)為H,則O'H⊥FG,O'點(diǎn)的坐標(biāo)為(
x1+m
2
y1
2
)

|O′F|=
1
2
|AD|=
1
2
(x1-m)2+
y
2
1
=
1
2
(x1-m)2+4x1
|O′H|=|a-
x1+m
2
|=
1
2
|2a-x1-m|
,
∴|FH|2=|O'F|2-|O'H|2=
1
4
[(x1-m)2+4x1]-
1
4
(2a-x1-m)2
=(a-m+1)x1+a(m-a)…(12分)
∴|FG|2=(2|FH|)2=4[(a-m+1)x1+a(m-a)]
令a-m+1=0,得a=m-1
此時(shí),|FG|2=4(m-1)
∴當(dāng)m-1>0,即m>1時(shí),|FG|=2
m-1
(定值)
∴當(dāng)m>1時(shí),滿足條件的直線l'存在,其方程為x=m-1;當(dāng)0<m≤1時(shí),滿足條件的直線l'不存在.…(14分)
點(diǎn)評(píng):本題以向量得數(shù)量積得坐標(biāo)表示為載體考查了圓錐曲線得求解及直線與圓、圓錐曲線的位置關(guān)系得求解.屬于綜合試題.
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(2007•深圳一模)已知點(diǎn)A(1,0),B(0,1)和互不相同的點(diǎn)P1,P2,P3,…,Pn,…,滿足
OPn
=an
OA
+bn
OB
(n∈N*)
,其中{an}、{bn}分別為等差數(shù)列和等比數(shù)列,O為坐標(biāo)原點(diǎn),若P1是線段AB的中點(diǎn).
(Ⅰ)求a1,b1的值;
(Ⅱ)點(diǎn)P1,P2,P3,…,Pn,…能否共線?證明你的結(jié)論;
(Ⅲ)證明:對(duì)于給定的公差不零的{an},都能找到唯一的一個(gè){bn},使得P1,P2,P3,…,Pn,…,都在一個(gè)指數(shù)函數(shù)的圖象上.

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a
b
均為單位向量,它們的夾角為60°,那么|
a
-3
b
|
等于(  )

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(2007•深圳一模)如圖,AB是半圓O的直徑,C在半圓上,CD⊥AB于D,且AD=3DB,設(shè)∠COD=θ,則tan2
θ
2
=
1
3
1
3

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(2007•深圳一模)已知函數(shù)f(x)=x-a
x
+lnx
(a為常數(shù)).
(Ⅰ)當(dāng)a=5時(shí),求f(x)的極值;
(Ⅱ)若f(x)在定義域上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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(2007•深圳一模)將圓x2+y2=8上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變,縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的
2
2
倍,得到曲線C.設(shè)直線l與曲線C相交于A、B兩點(diǎn),且M,其中M是曲線C與y軸正半軸的交點(diǎn).
(Ⅰ)求曲線C的方程;
(Ⅱ)證明:直線l的縱截距為定值.

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