在無窮數(shù)列中,,對于任意,都有,. 設(shè), 記使得成立的的最大值為.
(1)設(shè)數(shù)列為1,3,5,7,,寫出的值;
(2)若為等差數(shù)列,求出所有可能的數(shù)列;
(3)設(shè),求的值.(用表示)
(1),;(2);(3)

試題分析:(1)根據(jù)使得成立的的最大值為,則,則,,則,這樣就寫出的值;(2)若為等差數(shù)列,先判斷,再證明,即可求出所有可能的數(shù)列;(3)確定,,依此類推,發(fā)現(xiàn)規(guī)律,得出,從而求出的值.
(1) ,,.                                       3分
(2)由題意,得,
結(jié)合條件,得.                                       4分
又因?yàn)槭沟?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824051059375504.png" style="vertical-align:middle;" />成立的的最大值為,使得成立的的最大值為,
所以,.                                     5分
設(shè),則.
假設(shè),即
則當(dāng)時,;當(dāng)時,.
所以.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824051059515471.png" style="vertical-align:middle;" />為等差數(shù)列,
所以公差,
所以,其中.
這與矛盾,
所以.                                                     6分
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824051100763690.png" style="vertical-align:middle;" />,
所以,
為等差數(shù)列,得,其中.                          7分
因?yàn)槭沟?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824051059375504.png" style="vertical-align:middle;" />成立的的最大值為,
所以,
,得.                                              8分
(3)設(shè)
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824051100763690.png" style="vertical-align:middle;" />,
所以,且,
所以數(shù)列中等于1的項(xiàng)有個,即個;                 9分
設(shè),
, 且,
所以數(shù)列中等于2的項(xiàng)有個,即個;                 10分
以此類推,數(shù)列中等于的項(xiàng)有個.                  11分
所以


.
.                                  13分
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