Question

某校從高一年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取60名學(xué)生，將其期中考試的數(shù)學(xué)成績（均為整數(shù)）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如下頻率分布直方圖．
（Ⅰ）求分?jǐn)?shù)在[70，80）內(nèi)的頻率；
（Ⅱ）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)該校高一年級(jí)學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的平均分；
（Ⅲ）用分層抽樣的方法在80分以上的學(xué)生中抽取一個(gè)容量為6的樣本，將該樣本看成一個(gè)總體，從中任意選取2人，求其中恰有1人的分?jǐn)?shù)不低于90分的概率．

Answer 1

分析：（I）由題意得分?jǐn)?shù)在[70，80）內(nèi)的頻率等于1減去得分在[40，70]與[80，100]內(nèi)的概率．
（Ⅱ）平均數(shù)為每個(gè)小長方形的面積乘以每個(gè)小長方形底邊中點(diǎn)橫坐標(biāo)的和．
（Ⅲ）由題意，根據(jù)直方圖計(jì)算出[80，90）分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為15人；[90，100]分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為3人；由分層抽樣得在[80，90）與[90，100]分?jǐn)?shù)段抽取人數(shù)分別為5人，1人．因?yàn)閺臉颖局腥稳?人，其中恰有1人的分?jǐn)?shù)不低于90（分），則另一人的分?jǐn)?shù)一定是在[80，90）分?jǐn)?shù)段，所以只需在分?jǐn)?shù)段[80，90）抽取的5人中確定1人．再利用古典概型計(jì)算出事件發(fā)生的概率即可．

解答：解：（Ⅰ）分?jǐn)?shù)在[70，80）內(nèi)的頻率為：1-（0.010+0.015+0.015+0.025+0.005）×10=1-0.7=0.3．
（Ⅱ）平均分為：

.

x

=45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71．
（Ⅲ）由題意，[80，90）分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為：0.25×60=15人；     
[90，100]分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為：0.05×60=3人；     
∵用分層抽樣的方法在80（分）以上（含80分）的學(xué)生中抽取一個(gè)容量為6的樣本，
∴[80，90）分?jǐn)?shù)段抽取5人，分別記為A，B，C，D，E；[90，100]分?jǐn)?shù)段抽取1人，記為M．         
因?yàn)閺臉颖局腥稳?人，其中恰有1人的分?jǐn)?shù)不低于90（分），
則另一人的分?jǐn)?shù)一定是在[80，90）分?jǐn)?shù)段，所以只需在分?jǐn)?shù)段[80，90）抽取的5人中確定1人．
設(shè)“從樣本中任取2人，其中恰有1人的分?jǐn)?shù)不低于9（0分）”為事件A，
則基本事件空間包含的基本事件有：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E），（A，M），（B，M），（C，M），（D，M），（E，M）共15種．
事件A包含的基本事件有（A，M），（B，M），（C，M），（D，M），（E，M）5種．
∴恰有1人的分?jǐn)?shù)不低于9（0分）的概率為P(A)=

5

15

=

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：解決此類問題的關(guān)鍵是熟悉頻率分布直方圖并且利用直方圖計(jì)算平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)；熟練的利用分層抽樣抽取樣本．