設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,已知,.
(1)求;
(2)若從中抽取一個(gè)公比為的等比數(shù)列,其中,且,.
①當(dāng)取最小值時(shí),求的通項(xiàng)公式;
②若關(guān)于的不等式有解,試求的值.
(1),(2)①,②
解析試題分析:(1)解等差數(shù)列問題,主要從待定系數(shù)對應(yīng)關(guān)系出發(fā).由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求出公差d即可,(2)①利用等比數(shù)列每一項(xiàng)都為等差數(shù)列中項(xiàng)這一限制條件,對公比逐步進(jìn)行驗(yàn)證、取舍,直到滿足.因?yàn)檠芯康氖?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/0d/f/eyn1y2.png" style="vertical-align:middle;" />取最小值時(shí)的通項(xiàng)公式,因此可從第二項(xiàng)開始進(jìn)行驗(yàn)證,首先滿足的就是所求的公比,②由①易得與的函數(shù)關(guān)系,并由為正整數(shù)初步限制取值范圍,當(dāng)且時(shí)適合題意,當(dāng)且時(shí),不合題意.再由不等式有解,歸納猜想并證明取值范圍為本題難點(diǎn)是如何說明當(dāng)時(shí)不等式即無解,可借助研究數(shù)列單調(diào)性的方法進(jìn)行說明.
試題解析:(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為,則,解得, 2分
所以. 4分
(2)因?yàn)閿?shù)列是正項(xiàng)遞增等差數(shù)列,所以數(shù)列的公比,
若,則由,得,此時(shí),由,
解得,所以,同理; 6分
若,則由,得,此時(shí),
另一方面,,所以,即, 8分
所以對任何正整數(shù),是數(shù)列的第項(xiàng).所以最小的公比.
所以. 10分
(3)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/ad/a/1pz7y3.png" style="vertical-align:middle;" />,得,而,
所以當(dāng)且時(shí),所有的均為正整數(shù),適合題意;
當(dāng)且時(shí),不全是正整數(shù),不合題意.
而有解,所以有解,經(jīng)檢驗(yàn),當(dāng),,時(shí),都是的解,適合題意; 12分
下證當(dāng)時(shí),無解, 設(shè),
則,
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/99/5/1pcqr2.png" style="verti
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知等差數(shù)列的公差大于0,且是方程的兩根,數(shù)列的前n項(xiàng)的和為,且.
(1)求數(shù)列,的通項(xiàng)公式;
(2)記,求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,且對任意正整數(shù)n,點(diǎn)(an+1,Sn)在直線3x+2y-3=0上.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)是否存在實(shí)數(shù)λ,使得數(shù)列為等差數(shù)列?若存在,求出λ的值;若不存在,則說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知數(shù)列滿足,,,是數(shù)列 的前項(xiàng)和.
(1)若數(shù)列為等差數(shù)列.
①求數(shù)列的通項(xiàng);
②若數(shù)列滿足,數(shù)列滿足,試比較數(shù)列 前項(xiàng)和與前項(xiàng)和的大;
(2)若對任意,恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知首項(xiàng)為的等比數(shù)列{an}是遞減數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn,且S1+a1,S2+a2,S3+a3成等差數(shù)列.
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)已知,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)數(shù)列是公比為正數(shù)的等比數(shù)列,,.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)數(shù)列是首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列,求數(shù)列的前項(xiàng)和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)已知函數(shù) ,當(dāng)時(shí)取得最小值-4.
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)若等差數(shù)列前n項(xiàng)和為,且,,求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知數(shù)列滿足:,,(其中為非零常數(shù),).
(1)判斷數(shù)列是不是等比數(shù)列?
(2)求;
(3)當(dāng)時(shí),令,為數(shù)列的前項(xiàng)和,求.
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